Exemples

f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ . Si

a

$a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ .

f_{min}

$f_{min}$

x = a x^{2} + b x + c

$x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ .

x = - \frac{5}{2 (2)}

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

x = - \frac{5}{2 (2)}

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

Étape 2.3

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

x = - \frac{5}{4}

$x = - \frac{5}{4}$

x = - \frac{5}{4}

$x = - \frac{5}{4}$

Étape 3

Évaluez

f (- \frac{5}{4})

$f (- \frac{5}{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

- \frac{5}{4}

$- \frac{5}{4}$ dans l’expression.

f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à

- \frac{5}{4}

$- \frac{5}{4}$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à

\frac{5}{4}

$\frac{5}{4}$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.2

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.3

Multipliez

\frac{5^{2}}{4^{2}}

$\frac{5^{2}}{4^{2}}$ par

1

$1$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.4

Élevez

5

$5$ à la puissance

2

$2$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.5

Élevez

4

$4$ à la puissance

2

$2$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

16

$16$ .

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.7

Multipliez

5 (- \frac{5}{4})

$5 (- \frac{5}{4})$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

5

$5$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.7.2

Associez

- 5

$- 5$ et

\frac{5}{4}

$\frac{5}{4}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} - 6$

Étape 3.2.1.7.3

Multipliez

- 5

$- 5$ par

5

$5$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6$

Étape 3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez

\frac{25}{4}

$\frac{25}{4}$ par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - (\frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - (\frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Étape 3.2.2.2

Multipliez

\frac{25}{4}

$\frac{25}{4}$ par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6$

Étape 3.2.2.3

Écrivez

- 6

$- 6$ comme une fraction avec le dénominateur

1

$1$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez

\frac{- 6}{1}

$\frac{- 6}{1}$ par

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez

\frac{- 6}{1}

$\frac{- 6}{1}$ par

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de

4 \cdot 2

$4 \cdot 2$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.2.7

Multipliez

2

$2$ par

4

$4$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez

- 25

$- 25$ par

2

$2$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 8}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez

- 6

$- 6$ par

8

$8$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}$

f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez

50

$50$ de

25

$25$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25 - 48}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25 - 48}{8}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez

48

$48$ de

- 25

$- 25$ .

f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 73}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 73}{8}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}$

f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est

- \frac{73}{8}

$- \frac{73}{8}$ .

- \frac{73}{8}

$- \frac{73}{8}$

- \frac{73}{8}

$- \frac{73}{8}$

- \frac{73}{8}

$- \frac{73}{8}$

Étape 4

Utilisez les valeurs

x

$x$ et

y

$y$ pour déterminer où se produit le minimum.

(- \frac{5}{4}, - \frac{73}{8})

$(- \frac{5}{4}, - \frac{73}{8})$

Étape 5

Saisissez VOTRE problème