Exemples

Déterminer les vecteurs propres/l’espace propre
Étape 1
Déterminez les valeurs propres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 1.2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 1.3
Remplacez les valeurs connues dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par .
Étape 1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 1.4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4
Multipliez par .
Étape 1.4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 1.4.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.1
Additionnez et .
Étape 1.4.3.2
Additionnez et .
Étape 1.5
Find the determinant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 1.5.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.5.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.2.1.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.1.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 1.5.2.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.2.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 1.5.2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 1.5.2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 1.7
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1
Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.
Étape 1.7.2
Remplacez les valeurs , et dans la formule quadratique et résolvez pour .
Étape 1.7.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.3.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.7.3.1.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.3.1.2.1
Multipliez par .
Étape 1.7.3.1.2.2
Multipliez par .
Étape 1.7.3.1.3
Additionnez et .
Étape 1.7.3.2
Multipliez par .
Étape 1.7.4
La réponse finale est la combinaison des deux solutions.
Étape 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Étape 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 3.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 3.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 3.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 3.2.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.3.1
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 3.2.3.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.2.3.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.3.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.2.3.3.2
Multipliez par .
Étape 3.2.3.3.3
Soustrayez de .
Étape 3.2.3.4
Réécrivez comme .
Étape 3.2.3.5
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.3.6
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.3.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.2.3.8
Additionnez et .
Étape 3.2.3.9
Additionnez et .
Étape 3.2.3.10
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.2.3.11
Associez et .
Étape 3.2.3.12
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.2.3.13
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.3.13.1
Multipliez par .
Étape 3.2.3.13.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.2.3.13.3
Multipliez par .
Étape 3.2.3.13.4
Soustrayez de .
Étape 3.3
Find the null space when .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 3.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 3.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 3.3.6
Write as a solution set.
Étape 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 4.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 4.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.2.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.3.1
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 4.2.3.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.2.3.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.3.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.2.3.3.2
Multipliez par .
Étape 4.2.3.3.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.3.3.3.1
Multipliez par .
Étape 4.2.3.3.3.2
Multipliez par .
Étape 4.2.3.3.4
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.4
Réécrivez comme .
Étape 4.2.3.5
Factorisez à partir de .
Étape 4.2.3.6
Factorisez à partir de .
Étape 4.2.3.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.2.3.8
Additionnez et .
Étape 4.2.3.9
Additionnez et .
Étape 4.2.3.10
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.2.3.11
Associez et .
Étape 4.2.3.12
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.2.3.13
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.3.13.1
Multipliez par .
Étape 4.2.3.13.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.2.3.13.3
Multipliez par .
Étape 4.2.3.13.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.3.13.4.1
Multipliez par .
Étape 4.2.3.13.4.2
Multipliez par .
Étape 4.2.3.13.5
Soustrayez de .
Étape 4.3
Find the null space when .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 4.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 4.3.6
Write as a solution set.
Étape 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.
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