Exemples

x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$

Étape 1

Complétez le carré pour

x^{2} + 4 x

$x^{2} + 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 4

$b = 4$

c = 0

$c = 0$

Étape 1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à

4

$4$ et

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

4

$4$ .

d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

d = \frac{2}{1}

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.3.2.2.4

Divisez

2

$2$ par

1

$1$ .

d = 2

$d = 2$

d = 2

$d = 2$

d = 2

$d = 2$

d = 2

$d = 2$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à

4^{2}

$4^{2}$ et

4

$4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1.1.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

4^{2}

$4^{2}$ .

e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1.1.2.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$ .

e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 1.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

e = 0 - \frac{4}{1}

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Étape 1.4.2.1.1.2.4

Divisez

4

$4$ par

1

$1$ .

e = 0 - 1 \cdot 4

$e = 0 - 1 \cdot 4$

e = 0 - 1 \cdot 4

$e = 0 - 1 \cdot 4$

e = 0 - 1 \cdot 4

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

4

$4$ .

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez

4

$4$ de

0

$0$ .

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

Étape 1.5

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

{(x + 2)}^{2} - 4

${(x + 2)}^{2} - 4$ .

{(x + 2)}^{2} - 4

${(x + 2)}^{2} - 4$

{(x + 2)}^{2} - 4

${(x + 2)}^{2} - 4$

Étape 2

Remplacez

x^{2} + 4 x

$x^{2} + 4 x$ par

{(x + 2)}^{2} - 4

${(x + 2)}^{2} - 4$ dans l’équation

x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

{(x + 2)}^{2} - 4 - y^{2} - 8 y = 0

${(x + 2)}^{2} - 4 - y^{2} - 8 y = 0$

Étape 3

Déplacez

- 4

$- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant

4

$4$ des deux côtés.

{(x + 2)}^{2} - y^{2} - 8 y = 0 + 4

${(x + 2)}^{2} - y^{2} - 8 y = 0 + 4$

Étape 4

Complétez le carré pour

- y^{2} - 8 y

$- y^{2} - 8 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = - 1

$a = - 1$

b = - 8

$b = - 8$

c = 0

$c = 0$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à

- 8

$- 8$ et

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 8

$- 8$ .

d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de

\frac{- 4}{- 1}

$\frac{- 4}{- 1}$ .

d = - 1 \cdot - 4

$d = - 1 \cdot - 4$

d = - 1 \cdot - 4

$d = - 1 \cdot - 4$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez

- 1 \cdot - 4

$- 1 \cdot - 4$ comme

- - 4

$- - 4$ .

d = - - 4

$d = - - 4$

Étape 4.3.2.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 4

$- 4$ .

d = 4

$d = 4$

d = 4

$d = 4$

d = 4

$d = 4$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1

Élevez

- 8

$- 8$ à la puissance

2

$2$ .

e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

- 1

$- 1$ .

e = 0 - \frac{64}{- 4}

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

Étape 4.4.2.1.3

Divisez

64

$64$ par

- 4

$- 4$ .

e = 0 - - 16

$e = 0 - - 16$

Étape 4.4.2.1.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 16

$- 16$ .

e = 0 + 16

$e = 0 + 16$

e = 0 + 16

$e = 0 + 16$

Étape 4.4.2.2

Additionnez

0

$0$ et

16

$16$ .

e = 16

$e = 16$

e = 16

$e = 16$

e = 16

$e = 16$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

- {(y + 4)}^{2} + 16

$- {(y + 4)}^{2} + 16$ .

- {(y + 4)}^{2} + 16

$- {(y + 4)}^{2} + 16$

- {(y + 4)}^{2} + 16

$- {(y + 4)}^{2} + 16$

Étape 5

Remplacez

- y^{2} - 8 y

$- y^{2} - 8 y$ par

- {(y + 4)}^{2} + 16

$- {(y + 4)}^{2} + 16$ dans l’équation

x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} + 16 = 0 + 4

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} + 16 = 0 + 4$

Étape 6

Déplacez

16

$16$ du côté droit de l’équation en ajoutant

16

$16$ des deux côtés.

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 0 + 4 - 16

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 0 + 4 - 16$

Étape 7

Simplifiez

0 + 4 - 16

$0 + 4 - 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Additionnez

0

$0$ et

4

$4$ .

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 4 - 16

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 4 - 16$

Étape 7.2

Soustrayez

16

$16$ de

4

$4$ .

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12$

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12$

Étape 8

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

- {(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 12

$- {(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 12$

Étape 9

Divisez chaque terme par

12

$12$ pour rendre le côté droit égal à un.

- \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}

$- \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à

1

$1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit

1

$1$ .

\frac{{(y + 4)}^{2}}{12} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} = 1

$\frac{{(y + 4)}^{2}}{12} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} = 1$

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