Exemples

\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}

$\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de

\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}

$\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}$ par le conjugué de

- 4 + 2 i

$- 4 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

\frac{3 + i}{- 4 + 2 i} \cdot \frac{- 4 - 2 i}{- 4 - 2 i}

$\frac{3 + i}{- 4 + 2 i} \cdot \frac{- 4 - 2 i}{- 4 - 2 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

\frac{(3 + i) (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{(3 + i) (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez

(3 + i) (- 4 - 2 i)

$(3 + i) (- 4 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{3 (- 4 - 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{3 (- 4 - 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

- 4

$- 4$ .

\frac{- 12 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

3

$3$ .

\frac{- 12 - 6 i + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Déplacez

- 4

$- 4$ à gauche de

i

$i$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 \cdot i + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 \cdot i + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez

i (- 2 i)

$i (- 2 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{1 + 1}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{1 + 1}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 \cdot - 1}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 \cdot - 1}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{- 12 - 6 i - 4 i + 2}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i + 2}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{- 12 - 6 i - 4 i + 2}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i + 2}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez

- 12

$- 12$ et

2

$2$ .

\frac{- 10 - 6 i - 4 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 6 i - 4 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez

4 i

$4 i$ de

- 6 i

$- 6 i$ .

\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez

(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)

$(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 10 - 10 i}{- 4 (- 4 - 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 (- 4 - 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 4

$- 4$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 4

$- 4$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez

- 4

$- 4$ par

2

$2$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez

- 2

$- 2$ par

2

$2$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i i}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i)}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i^{1})}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{1 + 1}}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{2}}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez

8 i

$8 i$ de

8 i

$8 i$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 0 - 4 i^{2}}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez

16

$16$ et

0

$0$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 i^{2}}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 i^{2}}$

\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 i^{2}}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 \cdot - 1}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 4}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 4}$

\frac{- 10 - 10 i}{16 + 4}

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 4}$

Étape 2.3.4

Additionnez

16

$16$ et

4

$4$ .

\frac{- 10 - 10 i}{20}

$\frac{- 10 - 10 i}{20}$

\frac{- 10 - 10 i}{20}

$\frac{- 10 - 10 i}{20}$

\frac{- 10 - 10 i}{20}

$\frac{- 10 - 10 i}{20}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à

- 10 - 10 i

$- 10 - 10 i$ et

20

$20$ .

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Étape 3.1

Factorisez

10

$10$ à partir de

- 10

$- 10$ .

\frac{10 (- 1) - 10 i}{20}

$\frac{10 (- 1) - 10 i}{20}$

Étape 3.2

Factorisez

10

$10$ à partir de

- 10 i

$- 10 i$ .

\frac{10 (- 1) + 10 (- i)}{20}

$\frac{10 (- 1) + 10 (- i)}{20}$

Étape 3.3

Factorisez

10

$10$ à partir de

10 (- 1) + 10 (- i)

$10 (- 1) + 10 (- i)$ .

\frac{10 (- 1 - i)}{20}

$\frac{10 (- 1 - i)}{20}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez

10

$10$ à partir de

20

$20$ .

\frac{10 (- 1 - i)}{10 \cdot 2}

$\frac{10 (- 1 - i)}{10 \cdot 2}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

\frac{10 (- 1 - i)}{10 \cdot 2}

$\frac{10 (- 1 - i)}{10 \cdot 2}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

\frac{- 1 - i}{2}

$\frac{- 1 - i}{2}$

\frac{- 1 - i}{2}

$\frac{- 1 - i}{2}$

\frac{- 1 - i}{2}

$\frac{- 1 - i}{2}$

Étape 4

Divisez la fraction

\frac{- 1 - i}{2}

$\frac{- 1 - i}{2}$ en deux fractions.

\frac{- 1}{2} + \frac{- i}{2}

$\frac{- 1}{2} + \frac{- i}{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}

$- \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

$- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

$- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

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