Algèbre linéaire Exemples

a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ ,

b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez le produit scalaire.

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Étape 1.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Étape 1.2.1.2

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Étape 1.2.1.3

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Étape 1.2.2

Additionnez

2

$2$ et

6

$6$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Étape 1.2.3

Additionnez

8

$8$ et

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Étape 2

Déterminez la norme de

b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

$b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.2.2

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Étape 2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Étape 2.2.4

Additionnez

1

$1$ et

4

$4$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Étape 2.2.5

Additionnez

5

$5$ et

1

$1$ .

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Étape 3

Déterminez la projection de

a⃗

$a⃗$ sur

b⃗

$b⃗$ à l’aide de la formule de projection.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Étape 4

Remplacez

a⃗ \cdot b⃗

$a⃗ \cdot b⃗$ par

10

$10$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Étape 5

Remplacez

| | b⃗ | |

$| | b⃗ | |$ par

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Étape 6

Remplacez

b⃗

$b⃗$ par

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Réécrivez

{\sqrt{6}}^{2}

${\sqrt{6}}^{2}$ comme

6

$6$ .

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Étape 7.1.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ comme

6^{\frac{1}{2}}

$6^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.1.5

Évaluez l’exposant.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à

10

$10$ et

6

$6$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

10

$10$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

6

$6$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ par chaque élément de la matrice.

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.4.1

Multipliez

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ par

1

$1$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Multipliez

\frac{5}{3} \cdot 2

$\frac{5}{3} \cdot 2$ .

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Étape 7.4.2.1

Associez

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ et

2

$2$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.2.2

Multipliez

5

$5$ par

2

$2$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.3

Multipliez

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ par

1

$1$ .

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

{proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

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