Algèbre linéaire Exemples
a=[232]a=[232] , b=[121]b=[121]
Étape 1
Étape 1.1
Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.
a⃗⋅b⃗=2⋅1+3⋅2+2⋅1a⃗⋅b⃗=2⋅1+3⋅2+2⋅1
Étape 1.2
Simplifiez
Étape 1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.2.1.1
Multipliez 22 par 11.
a⃗⋅b⃗=2+3⋅2+2⋅1a⃗⋅b⃗=2+3⋅2+2⋅1
Étape 1.2.1.2
Multipliez 33 par 22.
a⃗⋅b⃗=2+6+2⋅1a⃗⋅b⃗=2+6+2⋅1
Étape 1.2.1.3
Multipliez 22 par 11.
a⃗⋅b⃗=2+6+2a⃗⋅b⃗=2+6+2
a⃗⋅b⃗=2+6+2a⃗⋅b⃗=2+6+2
Étape 1.2.2
Additionnez 22 et 66.
a⃗⋅b⃗=8+2a⃗⋅b⃗=8+2
Étape 1.2.3
Additionnez 88 et 22.
a⃗⋅b⃗=10a⃗⋅b⃗=10
a⃗⋅b⃗=10a⃗⋅b⃗=10
a⃗⋅b⃗=10a⃗⋅b⃗=10
Étape 2
Étape 2.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
||b⃗||=√12+22+12||b⃗||=√12+22+12
Étape 2.2
Simplifiez
Étape 2.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
||b⃗||=√1+22+12||b⃗||=√1+22+12
Étape 2.2.2
Élevez 22 à la puissance 22.
||b⃗||=√1+4+12||b⃗||=√1+4+12
Étape 2.2.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
||b⃗||=√1+4+1||b⃗||=√1+4+1
Étape 2.2.4
Additionnez 11 et 44.
||b⃗||=√5+1||b⃗||=√5+1
Étape 2.2.5
Additionnez 55 et 11.
||b⃗||=√6||b⃗||=√6
||b⃗||=√6||b⃗||=√6
||b⃗||=√6||b⃗||=√6
Étape 3
Déterminez la projection de a⃗a⃗ sur b⃗b⃗ à l’aide de la formule de projection.
projb⃗(a⃗)=a⃗⋅b⃗||b⃗||2×b⃗projb⃗(a⃗)=a⃗⋅b⃗||b⃗||2×b⃗
Étape 4
Remplacez a⃗⋅b⃗a⃗⋅b⃗ par 1010.
projb⃗(a⃗)=10||b⃗||2×b⃗projb⃗(a⃗)=10||b⃗||2×b⃗
Étape 5
Remplacez ||b⃗||||b⃗|| par √6√6.
projb⃗(a⃗)=10√62×b⃗projb⃗(a⃗)=10√62×b⃗
Étape 6
Remplacez b⃗b⃗ par [121][121].
projb⃗(a⃗)=10√62×[121]projb⃗(a⃗)=10√62×[121]
Étape 7
Étape 7.1
Réécrivez √62√62 comme 66.
Étape 7.1.1
Utilisez n√ax=axnn√ax=axn pour réécrire √6√6 comme 612612.
projb⃗(a⃗)=10(612)2×[121]projb⃗(a⃗)=10(612)2×[121]
Étape 7.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, (am)n=amn(am)n=amn.
projb⃗(a⃗)=10612⋅2×[121]projb⃗(a⃗)=10612⋅2×[121]
Étape 7.1.3
Associez 1212 et 22.
projb⃗(a⃗)=10622×[121]projb⃗(a⃗)=10622×[121]
Étape 7.1.4
Annulez le facteur commun de 22.
Étape 7.1.4.1
Annulez le facteur commun.
projb⃗(a⃗)=10622×[121]
Étape 7.1.4.2
Réécrivez l’expression.
projb⃗(a⃗)=1061×[121]
projb⃗(a⃗)=1061×[121]
Étape 7.1.5
Évaluez l’exposant.
projb⃗(a⃗)=106×[121]
projb⃗(a⃗)=106×[121]
Étape 7.2
Annulez le facteur commun à 10 et 6.
Étape 7.2.1
Factorisez 2 à partir de 10.
projb⃗(a⃗)=2(5)6×[121]
Étape 7.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 7.2.2.1
Factorisez 2 à partir de 6.
projb⃗(a⃗)=2⋅52⋅3×[121]
Étape 7.2.2.2
Annulez le facteur commun.
projb⃗(a⃗)=2⋅52⋅3×[121]
Étape 7.2.2.3
Réécrivez l’expression.
projb⃗(a⃗)=53×[121]
projb⃗(a⃗)=53×[121]
projb⃗(a⃗)=53×[121]
Étape 7.3
Multipliez 53 par chaque élément de la matrice.
projb⃗(a⃗)=[53⋅153⋅253⋅1]
Étape 7.4
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 7.4.1
Multipliez 53 par 1.
projb⃗(a⃗)=[5353⋅253⋅1]
Étape 7.4.2
Multipliez 53⋅2.
Étape 7.4.2.1
Associez 53 et 2.
projb⃗(a⃗)=[535⋅2353⋅1]
Étape 7.4.2.2
Multipliez 5 par 2.
projb⃗(a⃗)=[5310353⋅1]
projb⃗(a⃗)=[5310353⋅1]
Étape 7.4.3
Multipliez 53 par 1.
projb⃗(a⃗)=[5310353]
projb⃗(a⃗)=[5310353]
projb⃗(a⃗)=[5310353]