Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ ,

[\begin{matrix} 0 & 1 & 2 - i \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

Étape 1

La distance entre deux vecteurs

u⃗

$u⃗$ et

v⃗

$v⃗$ dans

C^{n}

$ℂ^{n}$ est définie pour être

| | u⃗ - v⃗ | |

$| | u⃗ - v⃗ | |$ qui est la norme euclidienne de la différence

u⃗ - v⃗

$u⃗ - v⃗$ .

d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la norme de la différence de

u⃗ - v⃗

$u⃗ - v⃗$ où

u⃗ = [\begin{matrix} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{matrix}]

$u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ et

v⃗ = [\begin{matrix} 0 & 1 & 2 - i \end{matrix}]

$v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Créez un vecteur de la différence.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 i - 3 - 0 0 - 1 2 - (2 - i) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

Étape 2.2

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Soustrayez

0

$0$ de

2 i - 3

$2 i - 3$ .

\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.2

Réorganisez les termes.

\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.3

Utilisez la formule

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.4

Élevez

- 3

$- 3$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.5

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.6

Additionnez

9

$9$ et

4

$4$ .

\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.7

Réécrivez

{\sqrt{13}}^{2}

${\sqrt{13}}^{2}$ comme

13

$13$ .

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Étape 2.3.7.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$ comme

13^{\frac{1}{2}}

$13^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.7.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.7.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.8

Soustrayez

$1$ de

$0$ .

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.9

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Étape 2.3.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

Étape 2.3.10.2

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

Étape 2.3.10.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

Étape 2.3.10.4

Multipliez

$i$ par

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

Étape 2.3.11

Soustrayez

$2$ de

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

Étape 2.3.12

Additionnez

$0$ et

$i$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

Étape 2.3.13

Utilisez la formule

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

Étape 2.3.14

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

Étape 2.3.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

Étape 2.3.16

Additionnez

$0$ et

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

Étape 2.3.17

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

Étape 2.3.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

Étape 2.3.19

Additionnez

$13$ et

$1$ .

$\sqrt{14 + 1}$

Étape 2.3.20

Additionnez

$14$ et

$1$ .

$\sqrt{15}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{15}$

Forme décimale :

$3.87298334 \dots$

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