Algèbre linéaire Exemples

[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$

Étape 1

Le produit en croix de deux vecteurs

a⃗

$a⃗$ et

b⃗

$b⃗$ peut être écrit comme un déterminant avec les vecteurs d’unités standard de

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ et les éléments des vecteurs donnés.

a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Étape 2

Définissez le déterminant avec les valeurs données.

| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |$

Étape 3

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

0

$0$ . S’il n’y a aucun élément

0

$0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne

1

$1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 3.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

-

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 3.3

Le mineur pour

a_{11}

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Étape 3.4

Multipliez l’élément

a_{11}

$a_{11}$ par son cofacteur.

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î$

Étape 3.5

Le mineur pour

a_{12}

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

2

$2$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$

Étape 3.6

Multipliez l’élément

a_{12}

$a_{12}$ par son cofacteur.

- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ

$- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ$

Étape 3.7

Le mineur pour

a_{13}

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

3

$3$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Étape 3.8

Multipliez l’élément

a_{13}

$a_{13}$ par son cofacteur.

| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 3.9

Additionnez les termes entre eux.

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 4

Évaluez

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

- 7

$- 7$ par

4

$4$ .

(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

1

$1$ .

(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 4.2.2

Soustrayez

2

$2$ de

- 28

$- 28$ .

- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 5

Évaluez

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 5.2.1.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

1

$1$ .

- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 5.2.2

Soustrayez

5

$5$ de

4

$4$ .

- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Étape 6

Évaluez

| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 6.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Étape 6.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Étape 6.2.1.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

- 7

$- 7$ .

- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

Étape 6.2.2

Additionnez

2

$2$ et

35

$35$ .

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

Étape 7

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂$

Étape 8

Réécrivez la réponse.

[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]$

Saisissez VOTRE problème