Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1

Le produit en croix de deux vecteurs $a⃗$ et $b⃗$ peut être écrit comme un déterminant avec les vecteurs d’unités standard de $ℝ^{3}$ et les éléments des vecteurs donnés.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Étape 2

Définissez le déterminant avec les valeurs données.

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & - 1 & 1 \\ 5 & - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 3

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 3.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 3.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 3.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î$

Étape 3.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 3.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ$

Étape 3.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 3.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 3.9

Additionnez les termes entre eux.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 1 \cdot 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$(- 1 - - 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 5

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 î - (2 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 5.2.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Étape 6

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 6.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - - 3 ĵ + (2 \cdot - 3 - 5 \cdot - 1) k̂$

Étape 6.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 - 5 \cdot - 1) k̂$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 6$ et $5$ .

$2 î - - 3 ĵ - k̂$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$2 î + 3 ĵ - k̂$

Étape 8

Réécrivez la réponse.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}]$

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