Algèbre linéaire Exemples

$(1, - 2)$ , $(- 2, 1)$

Étape 1

Utilisez la formule du produit scalaire pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Déterminez le produit scalaire.

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Étape 2.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

Étape 2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Étape 3.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Étape 4.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Étape 4.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Étape 6.1.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Étape 6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Étape 6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Étape 6.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

Étape 6.2.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

Étape 6.4

Évaluez $\arccos (- \frac{4}{5})$ .

$θ = 143.13010235$

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