Algèbre linéaire Exemples

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

Étape 1

Utilisez la formule du produit en croix pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Déterminez le produit en croix.

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Étape 2.1

Le produit en croix de deux vecteurs $a⃗$ et $b⃗$ peut être écrit comme un déterminant avec les vecteurs d’unités standard de $ℝ^{3}$ et les éléments des vecteurs donnés.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Étape 2.2

Définissez le déterminant avec les valeurs données.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 2.3.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.3.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 2.3.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

Étape 2.3.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

Étape 2.3.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

Étape 2.3.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.3.9

Additionnez les termes entre eux.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $0$ par $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Étape 2.6

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

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Étape 2.6.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Étape 2.6.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Étape 2.6.2.1.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

Étape 2.8

Réécrivez la réponse.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

Étape 3

Déterminez l’amplitude du produit en croix.

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Étape 3.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

Étape 3.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

Étape 3.2.4

Additionnez $49$ et $1$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

Étape 3.2.5

Additionnez $50$ et $9$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 4.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

Étape 4.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

Étape 4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

Étape 4.2.5

Additionnez $2$ et $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

Étape 5

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 5.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

Étape 5.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

Étape 5.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

Étape 5.2.4

Additionnez $0$ et $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Étape 5.2.5

Additionnez $9$ et $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Étape 6

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

Étape 7.1.2

Multipliez $6$ par $10$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

Étape 7.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Étape 7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Étape 7.4.2

Déplacez $\sqrt{15}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Étape 7.4.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

Étape 7.4.4

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

Étape 7.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Étape 7.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Étape 7.4.7

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 7.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 7.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 7.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Étape 7.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Étape 7.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

Étape 7.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

Étape 7.5.2

Multipliez $59$ par $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

Étape 7.6

Multipliez $2$ par $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

Étape 7.7

Évaluez $\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

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