Algèbre linéaire Exemples
(1,-1,2)(1,−1,2) , (0,3,1)(0,3,1)
Étape 1
Utilisez la formule du produit en croix pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.
θ=arcsin(|a⃗×b⃗||a⃗||b⃗|)θ=arcsin(|a⃗×b⃗||a⃗||b⃗|)
Étape 2
Étape 2.1
Le produit en croix de deux vecteurs a⃗a⃗ et b⃗b⃗ peut être écrit comme un déterminant avec les vecteurs d’unités standard de ℝ3 et les éléments des vecteurs donnés.
a⃗×b⃗=a⃗×b⃗=|îĵk̂a1a2a3b1b2b3|
Étape 2.2
Définissez le déterminant avec les valeurs données.
a⃗×b⃗=|îĵk̂1-12031|
Étape 2.3
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments 0. S’il n’y a aucun élément 0, choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne 1 par son cofacteur et ajoutez.
Étape 2.3.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
|+-+-+-+-+|
Étape 2.3.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position - sur le tableau de signes.
Étape 2.3.3
Le mineur pour a11 est le déterminant dont la ligne 1 et la colonne 1 sont supprimées.
|-1231|
Étape 2.3.4
Multipliez l’élément a11 par son cofacteur.
|-1231|î
Étape 2.3.5
Le mineur pour a12 est le déterminant dont la ligne 1 et la colonne 2 sont supprimées.
|1201|
Étape 2.3.6
Multipliez l’élément a12 par son cofacteur.
-|1201|ĵ
Étape 2.3.7
Le mineur pour a13 est le déterminant dont la ligne 1 et la colonne 3 sont supprimées.
|1-103|
Étape 2.3.8
Multipliez l’élément a13 par son cofacteur.
|1-103|k̂
Étape 2.3.9
Additionnez les termes entre eux.
a⃗×b⃗=|-1231|î-|1201|ĵ+|1-103|k̂
a⃗×b⃗=|-1231|î-|1201|ĵ+|1-103|k̂
Étape 2.4
Évaluez |-1231|.
Étape 2.4.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=(-1⋅1-3⋅2)î-|1201|ĵ+|1-103|k̂
Étape 2.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 2.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.4.2.1.1
Multipliez -1 par 1.
a⃗×b⃗=(-1-3⋅2)î-|1201|ĵ+|1-103|k̂
Étape 2.4.2.1.2
Multipliez -3 par 2.
a⃗×b⃗=(-1-6)î-|1201|ĵ+|1-103|k̂
a⃗×b⃗=(-1-6)î-|1201|ĵ+|1-103|k̂
Étape 2.4.2.2
Soustrayez 6 de -1.
a⃗×b⃗=-7î-|1201|ĵ+|1-103|k̂
a⃗×b⃗=-7î-|1201|ĵ+|1-103|k̂
a⃗×b⃗=-7î-|1201|ĵ+|1-103|k̂
Étape 2.5
Évaluez |1201|.
Étape 2.5.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=-7î-(1⋅1+0⋅2)ĵ+|1-103|k̂
Étape 2.5.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 2.5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.5.2.1.1
Multipliez 1 par 1.
a⃗×b⃗=-7î-(1+0⋅2)ĵ+|1-103|k̂
Étape 2.5.2.1.2
Multipliez 0 par 2.
a⃗×b⃗=-7î-(1+0)ĵ+|1-103|k̂
a⃗×b⃗=-7î-(1+0)ĵ+|1-103|k̂
Étape 2.5.2.2
Additionnez 1 et 0.
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+|1-103|k̂
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+|1-103|k̂
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+|1-103|k̂
Étape 2.6
Évaluez |1-103|.
Étape 2.6.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+(1⋅3+0⋅-1)k̂
Étape 2.6.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 2.6.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.6.2.1.1
Multipliez 3 par 1.
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+(3+0⋅-1)k̂
Étape 2.6.2.1.2
Multipliez 0 par -1.
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+(3+0)k̂
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+(3+0)k̂
Étape 2.6.2.2
Additionnez 3 et 0.
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+3k̂
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+3k̂
a⃗×b⃗=-7î-1⋅1ĵ+3k̂
Étape 2.7
Multipliez -1 par 1.
a⃗×b⃗=-7î-ĵ+3k̂
Étape 2.8
Réécrivez la réponse.
a⃗×b⃗=(-7,-1,3)
a⃗×b⃗=(-7,-1,3)
Étape 3
Étape 3.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
|a⃗×b⃗|=√(-7)2+(-1)2+32
Étape 3.2
Simplifiez
Étape 3.2.1
Élevez -7 à la puissance 2.
|a⃗×b⃗|=√49+(-1)2+32
Étape 3.2.2
Élevez -1 à la puissance 2.
|a⃗×b⃗|=√49+1+32
Étape 3.2.3
Élevez 3 à la puissance 2.
|a⃗×b⃗|=√49+1+9
Étape 3.2.4
Additionnez 49 et 1.
|a⃗×b⃗|=√50+9
Étape 3.2.5
Additionnez 50 et 9.
|a⃗×b⃗|=√59
|a⃗×b⃗|=√59
|a⃗×b⃗|=√59
Étape 4
Étape 4.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
|a⃗|=√12+(-1)2+22
Étape 4.2
Simplifiez
Étape 4.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
|a⃗|=√1+(-1)2+22
Étape 4.2.2
Élevez -1 à la puissance 2.
|a⃗|=√1+1+22
Étape 4.2.3
Élevez 2 à la puissance 2.
|a⃗|=√1+1+4
Étape 4.2.4
Additionnez 1 et 1.
|a⃗|=√2+4
Étape 4.2.5
Additionnez 2 et 4.
|a⃗|=√6
|a⃗|=√6
|a⃗|=√6
Étape 5
Étape 5.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
|b⃗|=√02+32+12
Étape 5.2
Simplifiez
Étape 5.2.1
L’élévation de 0 à toute puissance positive produit 0.
|b⃗|=√0+32+12
Étape 5.2.2
Élevez 3 à la puissance 2.
|b⃗|=√0+9+12
Étape 5.2.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
|b⃗|=√0+9+1
Étape 5.2.4
Additionnez 0 et 9.
|b⃗|=√9+1
Étape 5.2.5
Additionnez 9 et 1.
|b⃗|=√10
|b⃗|=√10
|b⃗|=√10
Étape 6
Remplacez les valeurs dans la formule.
θ=arcsin(√59√6√10)
Étape 7
Étape 7.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 7.1.1
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
θ=arcsin(√59√6⋅10)
Étape 7.1.2
Multipliez 6 par 10.
θ=arcsin(√59√60)
θ=arcsin(√59√60)
Étape 7.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 7.2.1
Réécrivez 60 comme 22⋅15.
Étape 7.2.1.1
Factorisez 4 à partir de 60.
θ=arcsin(√59√4(15))
Étape 7.2.1.2
Réécrivez 4 comme 22.
θ=arcsin(√59√22⋅15)
θ=arcsin(√59√22⋅15)
Étape 7.2.2
Extrayez les termes de sous le radical.
θ=arcsin(√592√15)
θ=arcsin(√592√15)
Étape 7.3
Multipliez √592√15 par √15√15.
θ=arcsin(√592√15⋅√15√15)
Étape 7.4
Associez et simplifiez le dénominateur.
Étape 7.4.1
Multipliez √592√15 par √15√15.
θ=arcsin(√59√152√15√15)
Étape 7.4.2
Déplacez √15.
θ=arcsin(√59√152(√15√15))
Étape 7.4.3
Élevez √15 à la puissance 1.
θ=arcsin(√59√152(√151√15))
Étape 7.4.4
Élevez √15 à la puissance 1.
θ=arcsin(√59√152(√151√151))
Étape 7.4.5
Utilisez la règle de puissance aman=am+n pour associer des exposants.
θ=arcsin(√59√152√151+1)
Étape 7.4.6
Additionnez 1 et 1.
θ=arcsin(√59√152√152)
Étape 7.4.7
Réécrivez √152 comme 15.
Étape 7.4.7.1
Utilisez n√ax=axn pour réécrire √15 comme 1512.
θ=arcsin(√59√152(1512)2)
Étape 7.4.7.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, (am)n=amn.
θ=arcsin(√59√152⋅1512⋅2)
Étape 7.4.7.3
Associez 12 et 2.
θ=arcsin(√59√152⋅1522)
Étape 7.4.7.4
Annulez le facteur commun de 2.
Étape 7.4.7.4.1
Annulez le facteur commun.
θ=arcsin(√59√152⋅1522)
Étape 7.4.7.4.2
Réécrivez l’expression.
θ=arcsin(√59√152⋅151)
θ=arcsin(√59√152⋅151)
Étape 7.4.7.5
Évaluez l’exposant.
θ=arcsin(√59√152⋅15)
θ=arcsin(√59√152⋅15)
θ=arcsin(√59√152⋅15)
Étape 7.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 7.5.1
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
θ=arcsin(√59⋅152⋅15)
Étape 7.5.2
Multipliez 59 par 15.
θ=arcsin(√8852⋅15)
θ=arcsin(√8852⋅15)
Étape 7.6
Multipliez 2 par 15.
θ=arcsin(√88530)
Étape 7.7
Évaluez arcsin(√88530).
θ=82.5824442
θ=82.5824442