Algèbre linéaire Exemples

Déterminer l’angle entre les vecteurs à l’aide du produit en croix
(1,-1,2)(1,1,2) , (0,3,1)(0,3,1)
Étape 1
Utilisez la formule du produit en croix pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.
θ=arcsin(|a⃗×b⃗||a⃗||b⃗|)θ=arcsin(|a⃗×b⃗||a⃗||b⃗|)
Étape 2
Déterminez le produit en croix.
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Étape 2.1
Le produit en croix de deux vecteurs a⃗a⃗ et b⃗b⃗ peut être écrit comme un déterminant avec les vecteurs d’unités standard de 3 et les éléments des vecteurs donnés.
a⃗×b⃗=a⃗×b⃗=|a1a2a3b1b2b3|
Étape 2.2
Définissez le déterminant avec les valeurs données.
a⃗×b⃗=|1-12031|
Étape 2.3
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments 0. S’il n’y a aucun élément 0, choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne 1 par son cofacteur et ajoutez.
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Étape 2.3.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
|+-+-+-+-+|
Étape 2.3.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position - sur le tableau de signes.
Étape 2.3.3
Le mineur pour a11 est le déterminant dont la ligne 1 et la colonne 1 sont supprimées.
|-1231|
Étape 2.3.4
Multipliez l’élément a11 par son cofacteur.
|-1231|
Étape 2.3.5
Le mineur pour a12 est le déterminant dont la ligne 1 et la colonne 2 sont supprimées.
|1201|
Étape 2.3.6
Multipliez l’élément a12 par son cofacteur.
-|1201|
Étape 2.3.7
Le mineur pour a13 est le déterminant dont la ligne 1 et la colonne 3 sont supprimées.
|1-103|
Étape 2.3.8
Multipliez l’élément a13 par son cofacteur.
|1-103|
Étape 2.3.9
Additionnez les termes entre eux.
a⃗×b⃗=|-1231|-|1201|+|1-103|
a⃗×b⃗=|-1231|-|1201|+|1-103|
Étape 2.4
Évaluez |-1231|.
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Étape 2.4.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=(-11-32)-|1201|+|1-103|
Étape 2.4.2
Simplifiez le déterminant.
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Étape 2.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 2.4.2.1.1
Multipliez -1 par 1.
a⃗×b⃗=(-1-32)-|1201|+|1-103|
Étape 2.4.2.1.2
Multipliez -3 par 2.
a⃗×b⃗=(-1-6)-|1201|+|1-103|
a⃗×b⃗=(-1-6)-|1201|+|1-103|
Étape 2.4.2.2
Soustrayez 6 de -1.
a⃗×b⃗=-7-|1201|+|1-103|
a⃗×b⃗=-7-|1201|+|1-103|
a⃗×b⃗=-7-|1201|+|1-103|
Étape 2.5
Évaluez |1201|.
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Étape 2.5.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=-7-(11+02)+|1-103|
Étape 2.5.2
Simplifiez le déterminant.
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Étape 2.5.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 2.5.2.1.1
Multipliez 1 par 1.
a⃗×b⃗=-7-(1+02)+|1-103|
Étape 2.5.2.1.2
Multipliez 0 par 2.
a⃗×b⃗=-7-(1+0)+|1-103|
a⃗×b⃗=-7-(1+0)+|1-103|
Étape 2.5.2.2
Additionnez 1 et 0.
a⃗×b⃗=-7-11+|1-103|
a⃗×b⃗=-7-11+|1-103|
a⃗×b⃗=-7-11+|1-103|
Étape 2.6
Évaluez |1-103|.
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Étape 2.6.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
a⃗×b⃗=-7-11+(13+0-1)
Étape 2.6.2
Simplifiez le déterminant.
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Étape 2.6.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 2.6.2.1.1
Multipliez 3 par 1.
a⃗×b⃗=-7-11+(3+0-1)
Étape 2.6.2.1.2
Multipliez 0 par -1.
a⃗×b⃗=-7-11+(3+0)
a⃗×b⃗=-7-11+(3+0)
Étape 2.6.2.2
Additionnez 3 et 0.
a⃗×b⃗=-7-11+3
a⃗×b⃗=-7-11+3
a⃗×b⃗=-7-11+3
Étape 2.7
Multipliez -1 par 1.
a⃗×b⃗=-7-+3
Étape 2.8
Réécrivez la réponse.
a⃗×b⃗=(-7,-1,3)
a⃗×b⃗=(-7,-1,3)
Étape 3
Déterminez l’amplitude du produit en croix.
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Étape 3.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
|a⃗×b⃗|=(-7)2+(-1)2+32
Étape 3.2
Simplifiez
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Étape 3.2.1
Élevez -7 à la puissance 2.
|a⃗×b⃗|=49+(-1)2+32
Étape 3.2.2
Élevez -1 à la puissance 2.
|a⃗×b⃗|=49+1+32
Étape 3.2.3
Élevez 3 à la puissance 2.
|a⃗×b⃗|=49+1+9
Étape 3.2.4
Additionnez 49 et 1.
|a⃗×b⃗|=50+9
Étape 3.2.5
Additionnez 50 et 9.
|a⃗×b⃗|=59
|a⃗×b⃗|=59
|a⃗×b⃗|=59
Étape 4
Déterminez la valeur absolue de a⃗.
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Étape 4.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
|a⃗|=12+(-1)2+22
Étape 4.2
Simplifiez
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Étape 4.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
|a⃗|=1+(-1)2+22
Étape 4.2.2
Élevez -1 à la puissance 2.
|a⃗|=1+1+22
Étape 4.2.3
Élevez 2 à la puissance 2.
|a⃗|=1+1+4
Étape 4.2.4
Additionnez 1 et 1.
|a⃗|=2+4
Étape 4.2.5
Additionnez 2 et 4.
|a⃗|=6
|a⃗|=6
|a⃗|=6
Étape 5
Déterminez la valeur absolue de b⃗.
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Étape 5.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
|b⃗|=02+32+12
Étape 5.2
Simplifiez
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Étape 5.2.1
L’élévation de 0 à toute puissance positive produit 0.
|b⃗|=0+32+12
Étape 5.2.2
Élevez 3 à la puissance 2.
|b⃗|=0+9+12
Étape 5.2.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
|b⃗|=0+9+1
Étape 5.2.4
Additionnez 0 et 9.
|b⃗|=9+1
Étape 5.2.5
Additionnez 9 et 1.
|b⃗|=10
|b⃗|=10
|b⃗|=10
Étape 6
Remplacez les valeurs dans la formule.
θ=arcsin(59610)
Étape 7
Simplifiez
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Étape 7.1
Simplifiez le dénominateur.
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Étape 7.1.1
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
θ=arcsin(59610)
Étape 7.1.2
Multipliez 6 par 10.
θ=arcsin(5960)
θ=arcsin(5960)
Étape 7.2
Simplifiez le dénominateur.
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Étape 7.2.1
Réécrivez 60 comme 2215.
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Étape 7.2.1.1
Factorisez 4 à partir de 60.
θ=arcsin(594(15))
Étape 7.2.1.2
Réécrivez 4 comme 22.
θ=arcsin(592215)
θ=arcsin(592215)
Étape 7.2.2
Extrayez les termes de sous le radical.
θ=arcsin(59215)
θ=arcsin(59215)
Étape 7.3
Multipliez 59215 par 1515.
θ=arcsin(592151515)
Étape 7.4
Associez et simplifiez le dénominateur.
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Étape 7.4.1
Multipliez 59215 par 1515.
θ=arcsin(591521515)
Étape 7.4.2
Déplacez 15.
θ=arcsin(59152(1515))
Étape 7.4.3
Élevez 15 à la puissance 1.
θ=arcsin(59152(15115))
Étape 7.4.4
Élevez 15 à la puissance 1.
θ=arcsin(59152(151151))
Étape 7.4.5
Utilisez la règle de puissance aman=am+n pour associer des exposants.
θ=arcsin(59152151+1)
Étape 7.4.6
Additionnez 1 et 1.
θ=arcsin(59152152)
Étape 7.4.7
Réécrivez 152 comme 15.
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Étape 7.4.7.1
Utilisez nax=axn pour réécrire 15 comme 1512.
θ=arcsin(59152(1512)2)
Étape 7.4.7.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, (am)n=amn.
θ=arcsin(5915215122)
Étape 7.4.7.3
Associez 12 et 2.
θ=arcsin(591521522)
Étape 7.4.7.4
Annulez le facteur commun de 2.
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Étape 7.4.7.4.1
Annulez le facteur commun.
θ=arcsin(591521522)
Étape 7.4.7.4.2
Réécrivez l’expression.
θ=arcsin(59152151)
θ=arcsin(59152151)
Étape 7.4.7.5
Évaluez l’exposant.
θ=arcsin(5915215)
θ=arcsin(5915215)
θ=arcsin(5915215)
Étape 7.5
Simplifiez le numérateur.
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Étape 7.5.1
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
θ=arcsin(5915215)
Étape 7.5.2
Multipliez 59 par 15.
θ=arcsin(885215)
θ=arcsin(885215)
Étape 7.6
Multipliez 2 par 15.
θ=arcsin(88530)
Étape 7.7
Évaluez arcsin(88530).
θ=82.5824442
θ=82.5824442
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