Algèbre linéaire Exemples

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Étape 1

Attribuez un nom pour chaque vecteur.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Étape 2

Le premier vecteur orthogonal est le premier vecteur dans l’ensemble de vecteurs indiqué.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Étape 3

Utilisez la formule pour déterminer les autres vecteurs orthogonaux.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Étape 4

Déterminez le vecteur orthogonal ${v⃗}_{2}$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule pour déterminer ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Étape 4.2

Remplacez ${u⃗}_{2}$ par $(0, 1, 1)$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Étape 4.3

Déterminez ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

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Étape 4.3.1

Déterminez le produit scalaire.

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Étape 4.3.1.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 4.3.1.2.1.2

Multipliez $1$ par $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Étape 4.3.1.2.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Étape 4.3.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Étape 4.3.1.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Étape 4.3.2

Déterminez la norme de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Étape 4.3.2.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.3.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Étape 4.3.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Étape 4.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Étape 4.3.2.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Étape 4.3.3

Déterminez la projection de ${u⃗}_{2}$ sur ${v⃗}_{1}$ à l’aide de la formule de projection.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 4.3.4

Remplacez ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ par $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 4.3.5

Remplacez $| | {v⃗}_{1} | |$ par $\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 4.3.6

Remplacez ${v⃗}_{1}$ par $(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.7.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.5

Évaluez l’exposant.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par chaque élément de la matrice.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.7.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.3.7.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.7.3.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.7.3.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Étape 4.4

Remplacez la projection.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Associez chaque composant des vecteurs.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.2

Soustrayez $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.5

Soustrayez $2$ de $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 4.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Étape 4.5.8

Soustrayez $2$ de $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5

Déterminez la base orthonormale en divisant chaque vecteur orthogonal par sa norme.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Étape 6

Déterminez le vecteur unitaire $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ où ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Étape 6.1

Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur $v⃗$ , divisez par la norme de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Étape 6.2

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 6.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Étape 6.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Étape 6.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Étape 6.3.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sqrt{3}$

Étape 6.4

Divisez le vecteur par sa norme.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Étape 6.5

Divisez chaque élément du vecteur par $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Étape 7

Déterminez le vecteur unitaire $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ où ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Étape 7.1

Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur $v⃗$ , divisez par la norme de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Étape 7.2

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 7.3.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 7.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Étape 7.3.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 7.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 7.3.13

Additionnez $4$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 7.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Étape 7.3.15

Additionnez $5$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Étape 7.3.16

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 7.3.16.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Étape 7.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 7.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 7.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 7.3.17

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 7.4

Divisez le vecteur par sa norme.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Étape 7.5

Divisez chaque élément du vecteur par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 7.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 7.6.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 7.6.4

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 7.6.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 7.6.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 7.6.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Étape 7.6.8

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Étape 8

Remplacez les valeurs connues.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

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