Algèbre linéaire Exemples

$x - 7 y = - 35$ , $3 x - 4 y = - 5$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 3 & - 4 & - 5 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 2.1.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 4 - 3 \cdot - 7 & - 5 - 3 \cdot - 35 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 17 & 100 \end{array}]$

Étape 2.2

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{17}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{17}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ \frac{0}{17} & \frac{17}{17} & \frac{100}{17} \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

Étape 2.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 2.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & - 35 + 7 (\frac{100}{17}) \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{105}{17} \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = \frac{105}{17}$

$y = \frac{100}{17}$

Étape 4

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(\frac{105}{17}, \frac{100}{17})$

Étape 5

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{105}{17} \\ \frac{100}{17} \end{array}]$

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