Algèbre linéaire Exemples

S = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 621 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 - 3 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

$S = {[\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 1

Écrivez comme une matrice augmentée pour

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 & 4 & 0 2 & - 3 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{6}{6} & \frac{4}{6} & \frac{0}{6} 2 & - 3 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{4}{6} & \frac{0}{6} \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 2 & - 3 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 2 & - 3 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 2.2.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (\frac{2}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (\frac{2}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 0 & - \frac{13}{3} & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 0 & - \frac{13}{3} & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.3

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 2.3.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 0 & - \frac{13}{3} & 0 1 - 1 & 1 - \frac{2}{3} & 0 - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{2}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 0 & - \frac{13}{3} & 0 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 0 & - \frac{13}{3} & 0 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 2.4

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

- \frac{3}{13}

$- \frac{3}{13}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

- \frac{3}{13}

$- \frac{3}{13}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 - \frac{3}{13} \cdot 0 & - \frac{3}{13} (- \frac{13}{3}) & - \frac{3}{13} \cdot 0 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ - \frac{3}{13} \cdot 0 & - \frac{3}{13} (- \frac{13}{3}) & - \frac{3}{13} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 2.5

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.6

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Étape 4

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 5

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$

Saisissez VOTRE problème