Algèbre linéaire Exemples

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$ , $S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}]}$

Étape 1

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}]}$

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$

Affectez le nom $S$ à l'ensemble et le nom $v$ au vecteur.

Étape 2

Définissez une relation linéaire pour savoir si une solution non triviale au système existe.

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}] + b [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Écrivez les vecteurs sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 \\ 2 & - 5 & - 1 \\ - 4 & 13 & - 12 \end{array}]$

Étape 3.2

Écrivez comme une matrice augmentée pour $A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 2 & - 5 & - 1 & 4 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

Étape 3.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 3.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - 2 \cdot - 3 & - 1 - 2 \cdot 2 & 4 - 2 \cdot - 1 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

Étape 3.4

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 3.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 13 + 4 \cdot - 3 & - 12 + 4 \cdot 2 & 11 + 4 \cdot - 1 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 & 7 \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 5 & 7 - 6 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.6

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 3.6.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 + 5 \cdot 0 & 1 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 6 + 5 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 3.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 11 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Comme le système obtenu est cohérent, le vecteur est un élément de l’ensemble.

$v \in ⟨ S ⟩$

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