Algèbre linéaire Exemples

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ ,

x + y = 2

$x + y = 2$

Étape 1

Soustrayez

y

$y$ des deux côtés de l’équation.

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de

x

$x$ par

2 - y

$2 - y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de

x

$x$ dans

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ par

2 - y

$2 - y$ .

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez

{(2 - y)}^{2}

${(2 - y)}^{2}$ comme

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ .

6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.2

Développez

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2

$2$ .

6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5

Multipliez

y

$y$ par

y

$y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.3.1.5.1

Déplacez

y

$y$ .

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez

y

$y$ par

y

$y$ .

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.6

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.7

Multipliez

y^{2}

$y^{2}$ par

1

$1$ .

6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.3.2

Soustrayez

2 y

$2 y$ de

- 2 y

$- 2 y$ .

6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.5.1

Multipliez

6

$6$ par

4

$4$ .

24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.1.5.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

6

$6$ .

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 2.2.1.2

Additionnez

6 y^{2}

$6 y^{2}$ et

3 y^{2}

$3 y^{2}$ .

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3

Résolvez

y

$y$ dans

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$ .

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Étape 3.1

Soustrayez

12

$12$ des deux côtés de l’équation.

24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0

$24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.2

Soustrayez

12

$12$ de

24

$24$ .

- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0

$- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

- 24 y + 9 y^{2} + 12

$- 24 y + 9 y^{2} + 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

- 24 y

$- 24 y$ .

3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0

$3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.1.2

Factorisez

3

$3$ à partir de

9 y^{2}

$9 y^{2}$ .

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.1.3

Factorisez

3

$3$ à partir de

12

$12$ .

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.1.4

Factorisez

3

$3$ à partir de

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})$ .

3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.1.5

Factorisez

3

$3$ à partir de

3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)$ .

3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.2

Laissez

u = y

$u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de

y

$y$ par

u

$u$ .

3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.3.2

Pour un polynôme de la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est

a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12

$a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ et dont la somme est

b = - 8

$b = - 8$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez

- 8

$- 8$ à partir de

- 8 u

$- 8 u$ .

3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.3.2.2

Réécrivez

- 8

$- 8$ comme

- 2

$- 2$ plus

- 6

$- 6$

3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0

$3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

3 u - 2

$3 u - 2$ .

3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

y

$y$ .

3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0

$3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$

y - 2 = 0

$y - 2 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.5

Définissez

3 y - 2

$3 y - 2$ égal à

0

$0$ et résolvez

y

$y$ .

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Étape 3.5.1

Définissez

3 y - 2

$3 y - 2$ égal à

0

$0$ .

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.5.2

Résolvez

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$ pour

y

$y$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez

2

$2$ aux deux côtés de l’équation.

3 y = 2

$3 y = 2$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans

3 y = 2

$3 y = 2$ par

3

$3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans

3 y = 2

$3 y = 2$ par

3

$3$ .

\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez

$y$ par

$1$ .

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Étape 3.6

Définissez

$y - 2$ égal à

$0$ et résolvez

$y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Définissez

$y - 2$ égal à

$0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Étape 3.6.2

Ajoutez

$2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

$x = 2 - y$

$y = 2$

$x = 2 - y$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$ vraie.

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de

$y$ par

$\frac{2}{3}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de

$y$ dans

$x = 2 - y$ par

$\frac{2}{3}$ .

$x = 2 - (\frac{2}{3})$

$y = \frac{2}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez

$2 - (\frac{2}{3})$ .

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Étape 4.2.1.1

Pour écrire

$2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Étape 4.2.1.2

Associez

$2$ et

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Étape 4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.4.1

Multipliez

$2$ par

$3$ .

$x = \frac{6 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Étape 4.2.1.4.2

Soustrayez

$2$ de

$6$ .

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de

$y$ par

$2$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de

$y$ dans

$x = 2 - y$ par

$2$ .

$x = 2 - (2)$

$y = 2$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez

$2 - (2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$x = 2 - 2$

$y = 2$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez

$2$ de

$2$ .

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

$(0, 2)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)$

Forme de l’équation :

$x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}$

$x = 0, y = 2$

Étape 8

Saisissez VOTRE problème