Algèbre linéaire Exemples

3 z + 3 x + 3 y = 19

$3 z + 3 x + 3 y = 19$ ,

x + 3 = y

$x + 3 = y$ ,

z = y - 4 x + 1

$z = y - 4 x + 1$

Étape 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déplacez

3 z

$3 z$ .

3 x + 3 y + 3 z = 19

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

x + 3 = y

$x + 3 = y$

z = y - 4 x + 1

$z = y - 4 x + 1$

Étape 1.2

Soustrayez

y

$y$ des deux côtés de l’équation.

3 x + 3 y + 3 z = 19

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

x + 3 - y = 0

$x + 3 - y = 0$

z = y - 4 x + 1

$z = y - 4 x + 1$

Étape 1.3

Soustrayez

3

$3$ des deux côtés de l’équation.

3 x + 3 y + 3 z = 19

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

x - y = - 3

$x - y = - 3$

z = y - 4 x + 1

$z = y - 4 x + 1$

Étape 1.4

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Soustrayez

y

$y$ des deux côtés de l’équation.

3 x + 3 y + 3 z = 19

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

x - y = - 3

$x - y = - 3$

z - y = - 4 x + 1

$z - y = - 4 x + 1$

Étape 1.4.2

Ajoutez

4 x

$4 x$ aux deux côtés de l’équation.

3 x + 3 y + 3 z = 19

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

x - y = - 3

$x - y = - 3$

z - y + 4 x = 1

$z - y + 4 x = 1$

3 x + 3 y + 3 z = 19

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

x - y = - 3

$x - y = - 3$

z - y + 4 x = 1

$z - y + 4 x = 1$

Étape 1.5

Déplacez

z

$z$ .

3 x + 3 y + 3 z = 19

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

x - y = - 3

$x - y = - 3$

- y + 4 x + z = 1

$- y + 4 x + z = 1$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre

- y

$- y$ et

4 x

$4 x$ .

3 x + 3 y + 3 z = 19

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

x - y = - 3

$x - y = - 3$

4 x - y + z = 1

$4 x - y + z = 1$

3 x + 3 y + 3 z = 19

$3 x + 3 y + 3 z = 19$

x - y = - 3

$x - y = - 3$

4 x - y + z = 1

$4 x - y + z = 1$

Étape 2

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 3 & 3 1 & - 1 & 0 4 & - 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 19 - 3 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 19 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3

Find the determinant of the coefficient matrix

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 3 & 3 1 & - 1 & 0 4 & - 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$ .

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Étape 3.1

Write

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 3 & 3 1 & - 1 & 0 4 & - 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 & 3 1 & - 1 & 0 4 & - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

2

$2$ by its cofactor and add.

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Étape 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 3.2.3

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.4

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.5

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.6

Multiply element

a_{22}

$a_{22}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.7

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 3.2.8

Multiply element

a_{23}

$a_{23}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 3.2.9

Add the terms together.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 3.3

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3.4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 1 (3 \cdot 1 - (- 1 \cdot 3)) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (3 \cdot 1 - (- 1 \cdot 3)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

- 1 (3 - (- 1 \cdot 3)) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (3 - (- 1 \cdot 3)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez

- (- 1 \cdot 3)

$- (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

- 1 (3 - - 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (3 - - 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3.4.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 3

$- 3$ .

- 1 (3 + 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (3 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

- 1 (3 + 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (3 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

- 1 (3 + 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (3 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3.4.2.2

Additionnez

3

$3$ et

3

$3$ .

- 1 \cdot 6 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

- 1 \cdot 6 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

- 1 \cdot 6 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3.5

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.5.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 1 \cdot 6 - 1 (3 \cdot 1 - 4 \cdot 3) + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 (3 \cdot 1 - 4 \cdot 3) + 0$

Étape 3.5.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

- 1 \cdot 6 - 1 (3 - 4 \cdot 3) + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 (3 - 4 \cdot 3) + 0$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

3

$3$ .

- 1 \cdot 6 - 1 (3 - 12) + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 (3 - 12) + 0$

- 1 \cdot 6 - 1 (3 - 12) + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 (3 - 12) + 0$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez

12

$12$ de

3

$3$ .

- 1 \cdot 6 - 1 \cdot - 9 + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 \cdot - 9 + 0$

- 1 \cdot 6 - 1 \cdot - 9 + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 \cdot - 9 + 0$

- 1 \cdot 6 - 1 \cdot - 9 + 0

$- 1 \cdot 6 - 1 \cdot - 9 + 0$

Étape 3.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

6

$6$ .

- 6 - 1 \cdot - 9 + 0

$- 6 - 1 \cdot - 9 + 0$

Étape 3.6.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 9

$- 9$ .

- 6 + 9 + 0

$- 6 + 9 + 0$

- 6 + 9 + 0

$- 6 + 9 + 0$

Étape 3.6.2

Additionnez

- 6

$- 6$ et

9

$9$ .

3 + 0

$3 + 0$

Étape 3.6.3

Additionnez

3

$3$ et

0

$0$ .

3

$3$

3

$3$

D = 3

$D = 3$

Étape 4

Since the determinant is not

0

$0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 5

Find the value of

x

$x$ by Cramer's Rule, which states that

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column

1

$1$ of the coefficient matrix that corresponds to the

x

$x$ -coefficients of the system with

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 19 - 3 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 19 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 & 3 - 3 & - 1 & 0 1 & - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 19 & 3 & 3 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

2

$2$ by its cofactor and add.

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Étape 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.2.1.3

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multiply element

a_{22}

$a_{22}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multiply element

a_{23}

$a_{23}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Add the terms together.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 5.2.3

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 (3 \cdot 1 - (- 1 \cdot 3)) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 (3 \cdot 1 - (- 1 \cdot 3)) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

3 (3 - (- 1 \cdot 3)) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 (3 - (- 1 \cdot 3)) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 5.2.3.2.1.2

Multipliez

- (- 1 \cdot 3)

$- (- 1 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

3 (3 - - 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 (3 - - 3) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 5.2.3.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 3

$- 3$ .

3 (3 + 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 (3 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

3 (3 + 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 (3 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

3 (3 + 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 (3 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez

3

$3$ et

3

$3$ .

3 \cdot 6 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

3 \cdot 6 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

3 \cdot 6 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$3 \cdot 6 - 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 5.2.4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 \cdot 6 - 1 (19 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 0

$3 \cdot 6 - 1 (19 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 0$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez

19

$19$ par

1

$1$ .

3 \cdot 6 - 1 (19 - 1 \cdot 3) + 0

$3 \cdot 6 - 1 (19 - 1 \cdot 3) + 0$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

3 \cdot 6 - 1 (19 - 3) + 0

$3 \cdot 6 - 1 (19 - 3) + 0$

3 \cdot 6 - 1 (19 - 3) + 0

$3 \cdot 6 - 1 (19 - 3) + 0$

Étape 5.2.4.2.2

Soustrayez

3

$3$ de

19

$19$ .

3 \cdot 6 - 1 \cdot 16 + 0

$3 \cdot 6 - 1 \cdot 16 + 0$

3 \cdot 6 - 1 \cdot 16 + 0

$3 \cdot 6 - 1 \cdot 16 + 0$

3 \cdot 6 - 1 \cdot 16 + 0

$3 \cdot 6 - 1 \cdot 16 + 0$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.1

Multipliez

3

$3$ par

6

$6$ .

18 - 1 \cdot 16 + 0

$18 - 1 \cdot 16 + 0$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

16

$16$ .

18 - 16 + 0

$18 - 16 + 0$

18 - 16 + 0

$18 - 16 + 0$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez

16

$16$ de

18

$18$ .

2 + 0

$2 + 0$

Étape 5.2.5.3

Additionnez

2

$2$ et

0

$0$ .

2

$2$

2

$2$

D_{x} = 2

$D_{x} = 2$

Étape 5.3

Use the formula to solve for

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 5.4

Substitute

3

$3$ for

D

$D$ and

2

$2$ for

D_{x}

$D_{x}$ in the formula.

x = \frac{2}{3}

$x = \frac{2}{3}$

x = \frac{2}{3}

$x = \frac{2}{3}$

Étape 6

Find the value of

y

$y$ by Cramer's Rule, which states that

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Replace column

2

$2$ of the coefficient matrix that corresponds to the

y

$y$ -coefficients of the system with

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 19 - 3 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 19 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 19 & 3 1 & - 3 & 0 4 & 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 19 & 3 \\ 1 & - 3 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

2

$2$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 6.2.1.3

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.4

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.5

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.6

Multiply element

a_{22}

$a_{22}$ by its cofactor.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.7

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 19 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 19 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.8

Multiply element

a_{23}

$a_{23}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 19 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 3 & 19 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.9

Add the terms together.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 19 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 19 \\ 4 & 1 \end{array} |$

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 19 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 19 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 19 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 19 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 | \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.3

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 19 & 3 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 19 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 1 (19 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (19 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez

19

$19$ par

1

$1$ .

- 1 (19 - 1 \cdot 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (19 - 1 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

- 1 (19 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (19 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

- 1 (19 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 (19 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.3.2.2

Soustrayez

3

$3$ de

19

$19$ .

- 1 \cdot 16 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

- 1 \cdot 16 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

- 1 \cdot 16 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 1 \cdot 16 - 3 (3 \cdot 1 - 4 \cdot 3) + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 (3 \cdot 1 - 4 \cdot 3) + 0$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

- 1 \cdot 16 - 3 (3 - 4 \cdot 3) + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 (3 - 4 \cdot 3) + 0$

Étape 6.2.4.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

3

$3$ .

- 1 \cdot 16 - 3 (3 - 12) + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 (3 - 12) + 0$

- 1 \cdot 16 - 3 (3 - 12) + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 (3 - 12) + 0$

Étape 6.2.4.2.2

Soustrayez

12

$12$ de

3

$3$ .

- 1 \cdot 16 - 3 \cdot - 9 + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 \cdot - 9 + 0$

- 1 \cdot 16 - 3 \cdot - 9 + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 \cdot - 9 + 0$

- 1 \cdot 16 - 3 \cdot - 9 + 0

$- 1 \cdot 16 - 3 \cdot - 9 + 0$

Étape 6.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

16

$16$ .

- 16 - 3 \cdot - 9 + 0

$- 16 - 3 \cdot - 9 + 0$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez

- 3

$- 3$ par

- 9

$- 9$ .

- 16 + 27 + 0

$- 16 + 27 + 0$

- 16 + 27 + 0

$- 16 + 27 + 0$

Étape 6.2.5.2

Additionnez

- 16

$- 16$ et

27

$27$ .

11 + 0

$11 + 0$

Étape 6.2.5.3

Additionnez

11

$11$ et

0

$0$ .

11

$11$

11

$11$

D_{y} = 11

$D_{y} = 11$

Étape 6.3

Use the formula to solve for

y

$y$ .

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 6.4

Substitute

3

$3$ for

D

$D$ and

11

$11$ for

D_{y}

$D_{y}$ in the formula.

y = \frac{11}{3}

$y = \frac{11}{3}$

y = \frac{11}{3}

$y = \frac{11}{3}$

Étape 7

Find the value of

z

$z$ by Cramer's Rule, which states that

z = \frac{D_{z}}{D}

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Replace column

3

$3$ of the coefficient matrix that corresponds to the

z

$z$ -coefficients of the system with

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 19 - 3 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 19 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 & 19 1 & - 1 & - 3 4 & - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 & 19 \\ 1 & - 1 & - 3 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 7.2.1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.2.1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Étape 7.2.1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 7.2.1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 7.2.1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.1.9

Add the terms together.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.2

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 3 - 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 (- 1 \cdot 1 - - - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (- 1 \cdot 1 - - - 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

3 (- 1 - - - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (- 1 - - - 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2.1.2

Multipliez

- - - 3

$- - - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 3

$- 3$ .

3 (- 1 - 1 \cdot 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (- 1 - 1 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

3 (- 1 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (- 1 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

3 (- 1 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (- 1 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

3 (- 1 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (- 1 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2.2

Soustrayez

3

$3$ de

- 1

$- 1$ .

3 \cdot - 4 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

3 \cdot - 4 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

3 \cdot - 4 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.3

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 7.2.3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 \cdot - 4 - 3 (1 \cdot 1 - 4 \cdot - 3) + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 (1 \cdot 1 - 4 \cdot - 3) + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.2.1.1

Multipliez

1

$1$ par

1

$1$ .

3 \cdot - 4 - 3 (1 - 4 \cdot - 3) + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 (1 - 4 \cdot - 3) + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 3

$- 3$ .

3 \cdot - 4 - 3 (1 + 12) + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 (1 + 12) + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

3 \cdot - 4 - 3 (1 + 12) + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 (1 + 12) + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2.2

Additionnez

1

$1$ et

12

$12$ .

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.2.4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 4 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 7.2.4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (1 \cdot - 1 - 4 \cdot - 1)

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (1 \cdot - 1 - 4 \cdot - 1)$

Étape 7.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.4.2.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (- 1 - 4 \cdot - 1)

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (- 1 - 4 \cdot - 1)$

Étape 7.2.4.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 1

$- 1$ .

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (- 1 + 4)

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (- 1 + 4)$

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (- 1 + 4)

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 (- 1 + 4)$

Étape 7.2.4.2.2

Additionnez

- 1

$- 1$ et

4

$4$ .

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3$

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3$

3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3

$3 \cdot - 4 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3$

Étape 7.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1.1

Multipliez

3

$3$ par

- 4

$- 4$ .

- 12 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3

$- 12 - 3 \cdot 13 + 19 \cdot 3$

Étape 7.2.5.1.2

Multipliez

- 3

$- 3$ par

13

$13$ .

- 12 - 39 + 19 \cdot 3

$- 12 - 39 + 19 \cdot 3$

Étape 7.2.5.1.3

Multipliez

19

$19$ par

3

$3$ .

- 12 - 39 + 57

$- 12 - 39 + 57$

- 12 - 39 + 57

$- 12 - 39 + 57$

Étape 7.2.5.2

Soustrayez

39

$39$ de

- 12

$- 12$ .

- 51 + 57

$- 51 + 57$

Étape 7.2.5.3

Additionnez

- 51

$- 51$ et

57

$57$ .

6

$6$

6

$6$

D_{z} = 6

$D_{z} = 6$

Étape 7.3

Use the formula to solve for

z

$z$ .

z = \frac{D_{z}}{D}

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Étape 7.4

Substitute

3

$3$ for

D

$D$ and

6

$6$ for

D_{z}

$D_{z}$ in the formula.

z = \frac{6}{3}

$z = \frac{6}{3}$

Étape 7.5

Divisez

6

$6$ par

3

$3$ .

z = 2

$z = 2$

z = 2

$z = 2$

Étape 8

Indiquez la solution au système d’équations.

x = \frac{2}{3}

$x = \frac{2}{3}$

y = \frac{11}{3}

$y = \frac{11}{3}$

z = 2

$z = 2$

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