Algèbre linéaire Exemples

$x - 6 y = 3$ , $x - y = - 1$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 \\ 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez le déterminant de la matrice des coefficients $[\begin{array}{c} 1 & - 6 \\ 1 & - 1 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Écrivez $[\begin{array}{c} 1 & - 6 \\ 1 & - 1 \end{array}]$ en notation de déterminant.

$| \begin{array}{c} 1 & - 6 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - 1 \cdot - 6$

Étape 2.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - 1 \cdot - 6$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$- 1 + 6$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$5$

$D = 5$

Étape 3

Comme le déterminant n’est pas $0$ , le système peut être résolu avec la règle de Cramer.

Étape 4

Déterminez la valeur de $x$ par la règle de Cramer, qui stipule que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la colonne $1$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $x$ du système par $[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 4.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 1 - - - 6$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 - - - 6$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- - - 6$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$- 3 - 1 \cdot 6$

Étape 4.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 3 - 6$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $6$ de $- 3$ .

$- 9$

$D_{x} = - 9$

Étape 4.3

Utilisez la formule pour résoudre $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Remplacez $D$ par $5$ et $D_{x}$ par $- 9$ dans la formule.

$x = \frac{- 9}{5}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{9}{5}$

Étape 5

Déterminez la valeur de $y$ par la règle de Cramer, qui stipule que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la colonne $2$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $y$ du système par $[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - 1 \cdot 3$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 1 - 3$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- 4$

$D_{y} = - 4$

Étape 5.3

Utilisez la formule pour résoudre $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Remplacez $D$ par $5$ et $D_{y}$ par $- 4$ dans la formule.

$y = \frac{- 4}{5}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4}{5}$

Étape 6

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = - \frac{9}{5}$

$y = - \frac{4}{5}$

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