Algèbre linéaire Exemples

$- x + 7 y = 35$ , $3 x - 4 y = - 5$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez le déterminant de la matrice des coefficients $[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Écrivez $[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ en notation de déterminant.

$| \begin{array}{c} - 1 & 7 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- - 4 - 3 \cdot 7$

Étape 2.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$4 - 3 \cdot 7$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$4 - 21$

Étape 2.3.2

Soustrayez $21$ de $4$ .

$- 17$

$D = - 17$

Étape 3

Comme le déterminant n’est pas $0$ , le système peut être résolu avec la règle de Cramer.

Étape 4

Déterminez la valeur de $x$ par la règle de Cramer, qui stipule que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la colonne $1$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $x$ du système par $[\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 35 & 7 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$35 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 7)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $35$ par $- 4$ .

$- 140 - (- 5 \cdot 7)$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot 7)$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $7$ .

$- 140 - - 35$

Étape 4.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 35$ .

$- 140 + 35$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 140$ et $35$ .

$- 105$

$D_{x} = - 105$

Étape 4.3

Utilisez la formule pour résoudre $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Remplacez $D$ par $- 17$ et $D_{x}$ par $- 105$ dans la formule.

$x = \frac{- 105}{- 17}$

Étape 4.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{105}{17}$

Étape 5

Déterminez la valeur de $y$ par la règle de Cramer, qui stipule que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la colonne $2$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $y$ du système par $[\begin{array}{c} 35 \\ - 5 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 35 \\ 3 & - 5 \end{array} |$

Étape 5.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- - 5 - 3 \cdot 35$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$5 - 3 \cdot 35$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $35$ .

$5 - 105$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $105$ de $5$ .

$- 100$

$D_{y} = - 100$

Étape 5.3

Utilisez la formule pour résoudre $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Remplacez $D$ par $- 17$ et $D_{y}$ par $- 100$ dans la formule.

$y = \frac{- 100}{- 17}$

Étape 5.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{100}{17}$

Étape 6

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = \frac{105}{17}$

$y = \frac{100}{17}$

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