Algèbre linéaire Exemples

${[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Étape 1

Affectez l’ensemble au nom $S$ à utiliser tout au long du problème.

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Étape 2

Créez une matrice dont les lignes sont les vecteurs dans la famille de générateurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

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Étape 3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 3.1.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Étape 3.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 3.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{1}{8}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{1}{8}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.6

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 3.6.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Convertissez les lignes non nulles en vecteurs colonnes pour former la base.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

Comme la base a $3$ vecteurs, la dimension de $S$ est $3$ .

$dim (S) = 3$

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