Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}]$ ,

$[\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}]$ ,

$[\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1

Affectez l’ensemble au nom

$S$ à utiliser tout au long du problème.

$S = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 2

Créez une matrice dont les lignes sont les vecteurs dans la famille de générateurs.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 3 \\ - 1 & - 3 & - 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

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Étape 3.1

Inversez

$R_{2}$ avec

$R_{1}$ pour placer une entrée non nulle sur

$1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.2

Multipliez chaque élément de

$R_{1}$ par

$- 1$ pour faire de l’entrée sur

$1, 1$ un

$1$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque élément de

$R_{1}$ par

$- 1$ pour faire de l’entrée sur

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

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Étape 3.3.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

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Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 9 + 6 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

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Étape 3.6.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Convertissez les lignes non nulles en vecteurs colonnes pour former la base.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{array}]}$

Étape 5

Comme la base a

$2$ vecteurs, la dimension de

$S$ est

$2$ .

$dim (S) = 2$

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