Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$

Étape 1

L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $a d - b c$ est le déterminant.

Étape 2

Déterminez le déterminant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - 12 \cdot 3$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 12 \cdot 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$2 - 36$

Étape 2.2.2

Soustrayez $36$ de $2$ .

$- 34$

Étape 3

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 4

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{- 34} [\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ - 12 & 1 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{34} [\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ - 12 & 1 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{34}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{34} \cdot 2 & - \frac{1}{34} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{34} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{34}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{34} \cdot 2 & - \frac{1}{34} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{34} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (17)} \cdot 2 & - \frac{1}{34} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{34} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 17} \cdot 2 & - \frac{1}{34} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{34} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{17} & - \frac{1}{34} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{34} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & - \frac{1}{34} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{34} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $- \frac{1}{34} \cdot - 3$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & 3 (\frac{1}{34}) \\ - \frac{1}{34} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{34}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{3}{34} \\ - \frac{1}{34} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{34}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{3}{34} \\ \frac{- 1}{34} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{3}{34} \\ \frac{- 1}{2 (17)} \cdot - 12 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.3

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{3}{34} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 6) & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{3}{34} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 6) & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{3}{34} \\ \frac{- 1}{17} \cdot - 6 & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.5

Associez $\frac{- 1}{17}$ et $- 6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{3}{34} \\ \frac{- - 6}{17} & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{3}{34} \\ \frac{6}{17} & - \frac{1}{34} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} & \frac{3}{34} \\ \frac{6}{17} & - \frac{1}{34} \end{array}]$

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