Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 5 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 2 - 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez chaque élément.

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Étape 2.1

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 + 0 \\ - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{array}]$

Étape 2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{array}]$

Étape 2.3

Additionnez $- 5$ et $2$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 3 & - 4 + 2 \end{array}]$

Étape 2.4

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 3 & - 2 \end{array}]$

Étape 3

L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $a d - b c$ est le déterminant.

Étape 4

Déterminez le déterminant.

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 6 \cdot - 2 - (- 3 \cdot 0)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$12 - (- 3 \cdot 0)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 0)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$12 - 0$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$12 + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $12$ et $0$ .

$12$

Étape 5

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 6

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{12} [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 3 & - 6 \end{array}]$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{12}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{12} \cdot - 2 & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (6)} \cdot - 2 & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6} & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{3 (4)} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.5.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6 (2)} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 8.6.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1) \end{array}]$

Étape 8.6.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1) \end{array}]$

Étape 8.6.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \cdot - 1 \end{array}]$

Étape 8.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{- 1}{2} \end{array}]$

Étape 8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} \end{array}]$

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