Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 1 & - 1 2 & - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{array}]$

Étape 1

Additionnez les éléments correspondants.

[\begin{matrix} 1 - 1 & 0 - 1 0 + 2 & 1 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 1 \\ 0 + 2 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez chaque élément.

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Étape 2.1

Soustrayez

1

$1$ de

1

$1$ .

[\begin{matrix} 0 & 0 - 1 0 + 2 & 1 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 1 \\ 0 + 2 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 2.2

Soustrayez

1

$1$ de

0

$0$ .

[\begin{matrix} 0 & - 1 0 + 2 & 1 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 0 + 2 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 2.3

Additionnez

0

$0$ et

2

$2$ .

[\begin{matrix} 0 & - 1 2 & 1 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 2 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 2.4

Soustrayez

2

$2$ de

1

$1$ .

[\begin{matrix} 0 & - 1 2 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 0 & - 1 2 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Étape 3

L’inverse d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où

a d - b c

$a d - b c$ est le déterminant.

Étape 4

Déterminez le déterminant.

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

0 \cdot - 1 - 2 \cdot - 1

$0 \cdot - 1 - 2 \cdot - 1$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

0

$0$ par

- 1

$- 1$ .

0 - 2 \cdot - 1

$0 - 2 \cdot - 1$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 1

$- 1$ .

0 + 2

$0 + 2$

0 + 2

$0 + 2$

Étape 4.2.2

Additionnez

0

$0$ et

2

$2$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Étape 5

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 6

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

\frac{1}{2} [\begin{matrix} - 1 & 1 - 2 & 0 \end{matrix}]

$\frac{1}{2} [\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 7

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

[\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 8

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 8.1

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 8.3

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

1

$1$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 2

$- 2$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 8.5

Multipliez

$\frac{1}{2}$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & 0 \end{array}]$

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