Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} 2 & 1 4 & 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} - 3 & - 3 - 5 & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \\ - 5 & - 3 \end{array}]$

Étape 1

Soustrayez les éléments correspondants.

[\begin{matrix} 2 + 3 & 1 + 3 4 + 5 & 1 + 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 + 3 & 1 + 3 \\ 4 + 5 & 1 + 3 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez chaque élément.

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Étape 2.1

Additionnez

2

$2$ et

3

$3$ .

[\begin{matrix} 5 & 1 + 3 4 + 5 & 1 + 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 1 + 3 \\ 4 + 5 & 1 + 3 \end{array}]$

Étape 2.2

Additionnez

1

$1$ et

3

$3$ .

[\begin{matrix} 5 & 4 4 + 5 & 1 + 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 4 + 5 & 1 + 3 \end{array}]$

Étape 2.3

Additionnez

4

$4$ et

5

$5$ .

[\begin{matrix} 5 & 4 9 & 1 + 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 1 + 3 \end{array}]$

Étape 2.4

Additionnez

1

$1$ et

3

$3$ .

[\begin{matrix} 5 & 4 9 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} 5 & 4 9 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 4 \end{array}]$

Étape 3

L’inverse d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où

a d - b c

$a d - b c$ est le déterminant.

Étape 4

Déterminez le déterminant.

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot 4 - 9 \cdot 4

$5 \cdot 4 - 9 \cdot 4$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

4

$4$ .

20 - 9 \cdot 4

$20 - 9 \cdot 4$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

- 9

$- 9$ par

4

$4$ .

20 - 36

$20 - 36$

20 - 36

$20 - 36$

Étape 4.2.2

Soustrayez

36

$36$ de

20

$20$ .

- 16

$- 16$

- 16

$- 16$

- 16

$- 16$

Étape 5

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 6

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

\frac{1}{- 16} [\begin{matrix} 4 & - 4 - 9 & 5 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 16} [\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 9 & 5 \end{array}]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{1}{16} [\begin{matrix} 4 & - 4 - 9 & 5 \end{matrix}]

$- \frac{1}{16} [\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 9 & 5 \end{array}]$

Étape 8

Multipliez

- \frac{1}{16}

$- \frac{1}{16}$ par chaque élément de la matrice.

[\begin{matrix} - \frac{1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de

4

$4$ .

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Étape 9.1.1

Placez le signe négatif initial dans

- \frac{1}{16}

$- \frac{1}{16}$ dans le numérateur.

[\begin{matrix} \frac{- 1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.1.2

Factorisez

4

$4$ à partir de

16

$16$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1}{4 (4)} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4 (4)} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de

$4$ .

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Étape 9.3.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{16}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.3.2

Factorisez

$4$ à partir de

$16$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4 (4)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.3.3

Factorisez

$4$ à partir de

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.3.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.4

Associez

$\frac{- 1}{4}$ et

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- - 1}{4} \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.5

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.6

Multipliez

$- \frac{1}{16} \cdot - 9$ .

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Étape 9.6.1

Multipliez

$- 9$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 9 (\frac{1}{16}) & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.6.2

Associez

$9$ et

$\frac{1}{16}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 9.7

Multipliez

$- \frac{1}{16} \cdot 5$ .

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Étape 9.7.1

Multipliez

$5$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & - 5 (\frac{1}{16}) \end{array}]$

Étape 9.7.2

Associez

$- 5$ et

$\frac{1}{16}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & \frac{- 5}{16} \end{array}]$

Étape 9.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & - \frac{5}{16} \end{array}]$

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