Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne $1$ par son cofacteur et additionnez.

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Étape 1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

Le mineur pour $a_{21}$ est le déterminant dont la ligne $2$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multipliez l’élément $a_{21}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

Le mineur pour $a_{31}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.8

Multipliez l’élément $a_{31}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.9

Additionnez les termes entre eux.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

$3 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (4 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$3 (4 - 2 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 (4 - 4) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$3 \cdot 0 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 0 + 0 + 3 (3 \cdot 2 - 4 \cdot 2)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 \cdot 0 + 0 + 3 (6 - 4 \cdot 2)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$3 \cdot 0 + 0 + 3 (6 - 8)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $8$ de $6$ .

$3 \cdot 0 + 0 + 3 \cdot - 2$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 0 + 3 \cdot - 2$

Étape 5.1.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$0 + 0 - 6$

Étape 5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 6$

Étape 5.3

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6$

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