Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 3 & 2 0 & 4 & 2 3 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

0

$0$ . S’il n’y a aucun élément

0

$0$ , choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne

1

$1$ par son cofacteur et additionnez.

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Étape 1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

-

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.3

Le mineur pour

a_{11}

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multipliez l’élément

a_{11}

$a_{11}$ par son cofacteur.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

Le mineur pour

a_{21}

$a_{21}$ est le déterminant dont la ligne

2

$2$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multipliez l’élément

a_{21}

$a_{21}$ par son cofacteur.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

Le mineur pour

a_{31}

$a_{31}$ est le déterminant dont la ligne

3

$3$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.8

Multipliez l’élément

a_{31}

$a_{31}$ par son cofacteur.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.9

Additionnez les termes entre eux.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 (4 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (4 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

3 (4 - 2 \cdot 2) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (4 - 2 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

2

$2$ .

3 (4 - 4) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (4 - 4) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

3 (4 - 4) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (4 - 4) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez

4

$4$ de

4

$4$ .

3 \cdot 0 + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot 0 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

3 \cdot 0 + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot 0 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

3 \cdot 0 + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot 0 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 \cdot 0 + 0 + 3 (3 \cdot 2 - 4 \cdot 2)

$3 \cdot 0 + 0 + 3 (3 \cdot 2 - 4 \cdot 2)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

3 \cdot 0 + 0 + 3 (6 - 4 \cdot 2)

$3 \cdot 0 + 0 + 3 (6 - 4 \cdot 2)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

2

$2$ .

3 \cdot 0 + 0 + 3 (6 - 8)

$3 \cdot 0 + 0 + 3 (6 - 8)$

3 \cdot 0 + 0 + 3 (6 - 8)

$3 \cdot 0 + 0 + 3 (6 - 8)$

Étape 4.2.2

Soustrayez

8

$8$ de

6

$6$ .

3 \cdot 0 + 0 + 3 \cdot - 2

$3 \cdot 0 + 0 + 3 \cdot - 2$

3 \cdot 0 + 0 + 3 \cdot - 2

$3 \cdot 0 + 0 + 3 \cdot - 2$

3 \cdot 0 + 0 + 3 \cdot - 2

$3 \cdot 0 + 0 + 3 \cdot - 2$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez

3

$3$ par

0

$0$ .

0 + 0 + 3 \cdot - 2

$0 + 0 + 3 \cdot - 2$

Étape 5.1.2

Multipliez

3

$3$ par

- 2

$- 2$ .

0 + 0 - 6

$0 + 0 - 6$

0 + 0 - 6

$0 + 0 - 6$

Étape 5.2

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

0 - 6

$0 - 6$

Étape 5.3

Soustrayez

6

$6$ de

0

$0$ .

- 6

$- 6$

- 6

$- 6$

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