Algèbre linéaire Exemples

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 123 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 - 3 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Étape 1

Affectez l’ensemble au nom

S

$S$ à utiliser tout au long du problème.

S = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 123 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 - 3 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Étape 2

Créez une matrice dont les lignes sont les vecteurs dans la famille de générateurs.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 - 2 & - 3 & 0 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

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Étape 3.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 3.1.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & - 2 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & - 2 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Étape 3.3

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

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Étape 3.3.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez chaque élément de

R_{3}

$R_{3}$ par

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ pour faire de l’entrée sur

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque élément de

R_{3}

$R_{3}$ par

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ pour faire de l’entrée sur

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

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Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.6

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

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Étape 3.6.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

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Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Convertissez les lignes non nulles en vecteurs colonnes pour former la base.

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 100 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 010 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 001 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Saisissez VOTRE problème