Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Étape 1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Utilisez le tableau de signes et la matrice donnée pour déterminer le cofacteur de chaque élément.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculez le mineur pour l’élément $a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $9$ .

$a_{11} = 45 - 8 \cdot 6$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $6$ .

$a_{11} = 45 - 48$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $48$ de $45$ .

$a_{11} = - 3$

Étape 2.2

Calculez le mineur pour l’élément $a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $9$ .

$a_{12} = 36 - 7 \cdot 6$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $6$ .

$a_{12} = 36 - 42$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $42$ de $36$ .

$a_{12} = - 6$

Étape 2.3

Calculez le mineur pour l’élément $a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $8$ .

$a_{13} = 32 - 7 \cdot 5$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $5$ .

$a_{13} = 32 - 35$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez $35$ de $32$ .

$a_{13} = - 3$

Étape 2.4

Calculez le mineur pour l’élément $a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Le mineur pour $a_{21}$ est le déterminant dont la ligne $2$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$a_{21} = 18 - 8 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$a_{21} = 18 - 24$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez $24$ de $18$ .

$a_{21} = - 6$

Étape 2.5

Calculez le mineur pour l’élément $a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Le mineur pour $a_{22}$ est le déterminant dont la ligne $2$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$a_{22} = 9 - 7 \cdot 3$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$a_{22} = 9 - 21$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez $21$ de $9$ .

$a_{22} = - 12$

Étape 2.6

Calculez le mineur pour l’élément $a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Le mineur pour $a_{23}$ est le déterminant dont la ligne $2$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$a_{23} = 8 - 7 \cdot 2$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$a_{23} = 8 - 14$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez $14$ de $8$ .

$a_{23} = - 6$

Étape 2.7

Calculez le mineur pour l’élément $a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Le mineur pour $a_{31}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$a_{31} = 12 - 5 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$a_{31} = 12 - 15$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez $15$ de $12$ .

$a_{31} = - 3$

Étape 2.8

Calculez le mineur pour l’élément $a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Le mineur pour $a_{32}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$a_{32} = 6 - 4 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$a_{32} = 6 - 12$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez $12$ de $6$ .

$a_{32} = - 6$

Étape 2.9

Calculez le mineur pour l’élément $a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Le mineur pour $a_{33}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$a_{33} = 5 - 4 \cdot 2$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$a_{33} = 5 - 8$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez $8$ de $5$ .

$a_{33} = - 3$

Étape 2.10

La matrice de cofacteurs est une matrice des mineurs avec le signe changé pour les éléments aux positions $-$ sur le tableau de signes.

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

Étape 3

Transposez la matrice en inversant ses lignes et ses colonnes.

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

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