Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les vecteurs propres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez les valeurs propres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 1.1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 1.1.3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.1.4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez chaque élément.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.1.4.3.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.1.5

Déterminez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.2.1.1

Développez $(4 - λ) (3 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.2.1.2.1.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.2.2

Soustrayez $3 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 1.1.5.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Étape 1.1.5.2.2

Soustrayez $6$ de $12$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Étape 1.1.5.2.3

Remettez dans l’ordre $- 7 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Étape 1.1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Étape 1.1.7

Résolvez $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1

Factorisez $λ^{2} - 7 λ + 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 6, - 1$

Étape 1.1.7.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Étape 1.1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

Étape 1.1.7.3

Définissez $λ - 6$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.3.1

Définissez $λ - 6$ égal à $0$ .

$λ - 6 = 0$

Étape 1.1.7.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 6$

Étape 1.1.7.4

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.4.1

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ .

$λ - 1 = 0$

Étape 1.1.7.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 1$

Étape 1.1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ - 6) (λ - 1) = 0$ vraie.

$λ = 6, 1$

Étape 1.2

Le vecteur propre est égal à l’espace nul de la matrice moins la valeur propre fois la matrice d’identité où $N$ est l’espace nul et $I$ est la matrice d’identité.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Étape 1.3

Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre $λ = 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $- 6$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.2.1

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.3.2.1.2.2

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.3.2.1.2.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.3.2.1.2.4

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Étape 1.3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez chaque élément.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.3.1

Soustrayez $6$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Étape 1.3.2.3.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Étape 1.3.2.3.3

Additionnez $3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

Étape 1.3.2.3.4

Soustrayez $6$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Étape 1.3.3

Déterminez l’espace nul quand $λ = 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Écrivez comme une matrice augmentée pour $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Étape 1.3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- \frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- \frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Étape 1.3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Étape 1.3.3.2.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 1.3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.3.3.3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Étape 1.3.3.4

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Étape 1.3.3.5

Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.3.3.6

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 1.3.3.7

La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 1.4

Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre $λ = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Soustrayez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez chaque élément.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $0$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2.2.3

Soustrayez $0$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2.2.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Étape 1.4.3

Déterminez l’espace nul quand $λ = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Écrivez comme une matrice augmentée pour $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 1.4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 1.4.3.2.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 1.4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Étape 1.4.3.4

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 1.4.3.7

La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 1.5

L’espace propre de $A$ est la liste de l’espace de vecteur de chaque valeur propre.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 2

Définissez $P$ comme une matrice des vecteurs propres.

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez l’inverse de $P$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $a d - b c$ est le déterminant.

Étape 3.2

Déterminez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 - - \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- - \frac{2}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

Étape 3.2.2.1.2.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$1 + \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 2}{3}$

Étape 3.2.2.4

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{5}{3}$

Étape 3.3

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 3.4

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $1$ .

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{3}{5}$ par chaque élément de la matrice.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.8

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.8.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.8.4

Multipliez $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.8.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.8.6

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Étape 4

Utilisez la transformée de similarité pour déterminer la matrice diagonale $D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Étape 5

Remplacez les matrices.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est $2 \times 2$ et la deuxième matrice est $2 \times 2$ .

Étape 6.1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Étape 6.1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Étape 6.2

Multipliez $[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Étape 6.2.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.2.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Saisissez VOTRE problème