Algèbre linéaire Exemples

[5202504-14]520250414
Étape 1
Déterminez les vecteurs propres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez les valeurs propres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique p(λ)p(λ).
p(λ)=déterminant(A-λI3)
Étape 1.1.2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille 3 est la matrice carrée 3×3 avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
[100010001]
Étape 1.1.3
Remplacez les valeurs connues dans p(λ)=déterminant(A-λI3).
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.3.1
Remplacez A par [5202504-14].
p(λ)=déterminant([5202504-14]-λI3)
Étape 1.1.3.2
Remplacez I3 par [100010001].
p(λ)=déterminant([5202504-14]-λ[100010001])
p(λ)=déterminant([5202504-14]-λ[100010001])
Étape 1.1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1.1
Multipliez -λ par chaque élément de la matrice.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1.2.1
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ-λ0-λ0-λ0-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.2
Multipliez -λ0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1.2.2.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ0λ-λ0-λ0-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.2.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ0-λ0-λ0-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ0-λ0-λ0-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.3
Multipliez -λ0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1.2.3.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ00λ-λ0-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.3.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ00-λ0-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ00-λ0-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.4
Multipliez -λ0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1.2.4.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000λ-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.4.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ1-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.5
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.6
Multipliez -λ0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1.2.6.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ0λ-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.6.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ0-λ0-λ1])
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ0-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.7
Multipliez -λ0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1.2.7.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ00λ-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.7.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ0-λ1])
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ0-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.8
Multipliez -λ0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1.2.8.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ000λ-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.8.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ1])
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ1])
Étape 1.1.4.1.2.9
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=déterminant([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
Étape 1.1.4.2
Additionnez les éléments correspondants.
p(λ)=déterminant[5-λ2+00+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]
Étape 1.1.4.3
Simplifiez chaque élément.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.3.1
Additionnez 2 et 0.
p(λ)=déterminant[5-λ20+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]
Étape 1.1.4.3.2
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[5-λ202+05-λ0+04+0-1+04-λ]
Étape 1.1.4.3.3
Additionnez 2 et 0.
p(λ)=déterminant[5-λ2025-λ0+04+0-1+04-λ]
Étape 1.1.4.3.4
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[5-λ2025-λ04+0-1+04-λ]
Étape 1.1.4.3.5
Additionnez 4 et 0.
p(λ)=déterminant[5-λ2025-λ04-1+04-λ]
Étape 1.1.4.3.6
Additionnez -1 et 0.
p(λ)=déterminant[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=déterminant[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=déterminant[5-λ2025-λ04-14-λ]
Étape 1.1.5
Déterminez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.1
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments 0. S’il n’y a aucun élément 0, choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne 3 par son cofacteur et additionnez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.1.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
|+-+-+-+-+|
Étape 1.1.5.1.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position - sur le tableau de signes.
Étape 1.1.5.1.3
Le mineur pour a13 est le déterminant dont la ligne 1 et la colonne 3 sont supprimées.
|25-λ4-1|
Étape 1.1.5.1.4
Multipliez l’élément a13 par son cofacteur.
0|25-λ4-1|
Étape 1.1.5.1.5
Le mineur pour a23 est le déterminant dont la ligne 2 et la colonne 3 sont supprimées.
|5-λ24-1|
Étape 1.1.5.1.6
Multipliez l’élément a23 par son cofacteur.
0|5-λ24-1|
Étape 1.1.5.1.7
Le mineur pour a33 est le déterminant dont la ligne 3 et la colonne 3 sont supprimées.
|5-λ225-λ|
Étape 1.1.5.1.8
Multipliez l’élément a33 par son cofacteur.
(4-λ)|5-λ225-λ|
Étape 1.1.5.1.9
Additionnez les termes entre eux.
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
Étape 1.1.5.2
Multipliez 0 par |25-λ4-1|.
p(λ)=0+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
Étape 1.1.5.3
Multipliez 0 par |5-λ24-1|.
p(λ)=0+0+(4-λ)|5-λ225-λ|
Étape 1.1.5.4
Évaluez |5-λ225-λ|.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.4.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0+(4-λ)((5-λ)(5-λ)-22)
Étape 1.1.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.4.2.1.1
Développez (5-λ)(5-λ) à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5(5-λ)-λ(5-λ)-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=0+0+(4-λ)(55+5(-λ)-λ(5-λ)-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=0+0+(4-λ)(55+5(-λ)-λ5-λ(-λ)-22)
p(λ)=0+0+(4-λ)(55+5(-λ)-λ5-λ(-λ)-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1.1
Multipliez 5 par 5.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25+5(-λ)-λ5-λ(-λ)-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1.2
Multipliez -1 par 5.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-λ5-λ(-λ)-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1.3
Multipliez 5 par -1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-λ(-λ)-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1-1λλ-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1.5
Multipliez λ par λ en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1
Déplacez λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1-1(λλ)-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multipliez λ par λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1-1λ2-22)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1-1λ2-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1.6
Multipliez -1 par -1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+1λ2-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.2.1.7
Multipliez λ2 par 1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-22)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.2.2
Soustrayez 5λ de -5λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-22)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-22)
Étape 1.1.5.4.2.1.3
Multipliez -2 par 2.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
Étape 1.1.5.4.2.2
Soustrayez 4 de 25.
p(λ)=0+0+(4-λ)(-10λ+λ2+21)
Étape 1.1.5.4.2.3
Remettez dans l’ordre -10λ et λ2.
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
Étape 1.1.5.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.5.1
Associez les termes opposés dans 0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21).
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.5.1.1
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
Étape 1.1.5.5.1.2
Additionnez 0 et (4-λ)(λ2-10λ+21).
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
Étape 1.1.5.5.2
Développez (4-λ)(λ2-10λ+21) en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
p(λ)=4λ2+4(-10λ)+421-λλ2-λ(-10λ)-λ21
Étape 1.1.5.5.3
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.5.3.1
Multipliez -10 par 4.
p(λ)=4λ2-40λ+421-λλ2-λ(-10λ)-λ21
Étape 1.1.5.5.3.2
Multipliez 4 par 21.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λλ2-λ(-10λ)-λ21
Étape 1.1.5.5.3.3
Multipliez λ par λ2 en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.5.3.3.1
Déplacez λ2.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ)-λ(-10λ)-λ21
Étape 1.1.5.5.3.3.2
Multipliez λ2 par λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.5.3.3.2.1
Élevez λ à la puissance 1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ1)-λ(-10λ)-λ21
Étape 1.1.5.5.3.3.2.2
Utilisez la règle de puissance aman=am+n pour associer des exposants.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ21
Étape 1.1.5.5.3.3.3
Additionnez 2 et 1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ21
Étape 1.1.5.5.3.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1-10λλ-λ21
Étape 1.1.5.5.3.5
Multipliez λ par λ en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.5.3.5.1
Déplacez λ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1-10(λλ)-λ21
Étape 1.1.5.5.3.5.2
Multipliez λ par λ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1-10λ2-λ21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1-10λ2-λ21
Étape 1.1.5.5.3.6
Multipliez -1 par -10.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-λ21
Étape 1.1.5.5.3.7
Multipliez 21 par -1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
Étape 1.1.5.5.4
Additionnez 4λ2 et 10λ2.
p(λ)=14λ2-40λ+84-λ3-21λ
Étape 1.1.5.5.5
Soustrayez 21λ de -40λ.
p(λ)=14λ2-61λ+84-λ3
Étape 1.1.5.5.6
Déplacez 84.
p(λ)=14λ2-61λ-λ3+84
Étape 1.1.5.5.7
Déplacez -61λ.
p(λ)=14λ2-λ3-61λ+84
Étape 1.1.5.5.8
Remettez dans l’ordre 14λ2 et -λ3.
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
Étape 1.1.6
Définissez le polynôme caractéristique égal à 0 pour déterminer les valeurs propres λ.
-λ3+14λ2-61λ+84=0
Étape 1.1.7
Résolvez λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1.1
Factorisez -λ3+14λ2-61λ+84 en utilisant le test des racines rationnelles.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1.1.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme pqp est un facteur de la constante et q est un facteur du coefficient directeur.
p=±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
q=±1
Étape 1.1.7.1.1.2
Déterminez chaque combinaison de ±pq. Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
Étape 1.1.7.1.1.3
Remplacez 3 et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à 0 donc 3 est une racine du polynôme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1.1.3.1
Remplacez 3 dans le polynôme.
-33+1432-613+84
Étape 1.1.7.1.1.3.2
Élevez 3 à la puissance 3.
-127+1432-613+84
Étape 1.1.7.1.1.3.3
Multipliez -1 par 27.
-27+1432-613+84
Étape 1.1.7.1.1.3.4
Élevez 3 à la puissance 2.
-27+149-613+84
Étape 1.1.7.1.1.3.5
Multipliez 14 par 9.
-27+126-613+84
Étape 1.1.7.1.1.3.6
Additionnez -27 et 126.
99-613+84
Étape 1.1.7.1.1.3.7
Multipliez -61 par 3.
99-183+84
Étape 1.1.7.1.1.3.8
Soustrayez 183 de 99.
-84+84
Étape 1.1.7.1.1.3.9
Additionnez -84 et 84.
0
0
Étape 1.1.7.1.1.4
Comme 3 est une racine connue, divisez le polynôme par λ-3 pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
-λ3+14λ2-61λ+84λ-3
Étape 1.1.7.1.1.5
Divisez -λ3+14λ2-61λ+84 par λ-3.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1.1.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de 0.
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
Étape 1.1.7.1.1.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende -λ3 par le terme du plus haut degré dans le diviseur λ.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
Étape 1.1.7.1.1.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
-λ3+3λ2
Étape 1.1.7.1.1.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans -λ3+3λ2
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
Étape 1.1.7.1.1.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2
Étape 1.1.7.1.1.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
-λ2
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
Étape 1.1.7.1.1.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende 11λ2 par le terme du plus haut degré dans le diviseur λ.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
Étape 1.1.7.1.1.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
+11λ2-33λ
Étape 1.1.7.1.1.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans 11λ2-33λ
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
Étape 1.1.7.1.1.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ
Étape 1.1.7.1.1.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
-λ2+11λ
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
Étape 1.1.7.1.1.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende -28λ par le terme du plus haut degré dans le diviseur λ.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
Étape 1.1.7.1.1.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
-28λ+84
Étape 1.1.7.1.1.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans -28λ+84
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
+28λ-84
Étape 1.1.7.1.1.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-λ2+11λ-28
λ-3-λ3+14λ2-61λ+84
+λ3-3λ2
+11λ2-61λ
-11λ2+33λ
-28λ+84
+28λ-84
0
Étape 1.1.7.1.1.5.16
Since the remainder is 0, the final answer is the quotient.
-λ2+11λ-28
-λ2+11λ-28
Étape 1.1.7.1.1.6
Écrivez -λ3+14λ2-61λ+84 comme un ensemble de facteurs.
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
Étape 1.1.7.1.2
Factorisez par regroupement.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1.2.1
Factorisez par regroupement.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1.2.1.1
Pour un polynôme de la forme ax2+bx+c, réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est ac=-1-28=28 et dont la somme est b=11.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1.2.1.1.1
Factorisez 11 à partir de 11λ.
(λ-3)(-λ2+11(λ)-28)=0
Étape 1.1.7.1.2.1.1.2
Réécrivez 11 comme 4 plus 7
(λ-3)(-λ2+(4+7)λ-28)=0
Étape 1.1.7.1.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
Étape 1.1.7.1.2.1.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1.2.1.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
(λ-3)((-λ2+4λ)+7λ-28)=0
Étape 1.1.7.1.2.1.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
Étape 1.1.7.1.2.1.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, -λ+4.
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
Étape 1.1.7.1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
Étape 1.1.7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à 0, l’expression entière sera égale à 0.
λ-3=0
-λ+4=0
λ-7=0
Étape 1.1.7.3
Définissez λ-3 égal à 0 et résolvez λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.3.1
Définissez λ-3 égal à 0.
λ-3=0
Étape 1.1.7.3.2
Ajoutez 3 aux deux côtés de l’équation.
λ=3
λ=3
Étape 1.1.7.4
Définissez -λ+4 égal à 0 et résolvez λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.4.1
Définissez -λ+4 égal à 0.
-λ+4=0
Étape 1.1.7.4.2
Résolvez -λ+4=0 pour λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.4.2.1
Soustrayez 4 des deux côtés de l’équation.
-λ=-4
Étape 1.1.7.4.2.2
Divisez chaque terme dans -λ=-4 par -1 et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.4.2.2.1
Divisez chaque terme dans -λ=-4 par -1.
-λ-1=-4-1
Étape 1.1.7.4.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.4.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
λ1=-4-1
Étape 1.1.7.4.2.2.2.2
Divisez λ par 1.
λ=-4-1
λ=-4-1
Étape 1.1.7.4.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.4.2.2.3.1
Divisez -4 par -1.
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
Étape 1.1.7.5
Définissez λ-7 égal à 0 et résolvez λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.5.1
Définissez λ-7 égal à 0.
λ-7=0
Étape 1.1.7.5.2
Ajoutez 7 aux deux côtés de l’équation.
λ=7
λ=7
Étape 1.1.7.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent (λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0 vraie.
λ=3,4,7
λ=3,4,7
λ=3,4,7
Étape 1.2
Le vecteur propre est égal à l’espace nul de la matrice moins la valeur propre fois la matrice d’identité où N est l’espace nul et I est la matrice d’identité.
εA=N(A-λI3)
Étape 1.3
Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre λ=3.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
N([5202504-14]-3[100010001])
Étape 1.3.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1.1
Multipliez -3 par chaque élément de la matrice.
[5202504-14]+[-31-30-30-30-31-30-30-30-31]
Étape 1.3.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1.2.1
Multipliez -3 par 1.
[5202504-14]+[-3-30-30-30-31-30-30-30-31]
Étape 1.3.2.1.2.2
Multipliez -3 par 0.
[5202504-14]+[-30-30-30-31-30-30-30-31]
Étape 1.3.2.1.2.3
Multipliez -3 par 0.
[5202504-14]+[-300-30-31-30-30-30-31]
Étape 1.3.2.1.2.4
Multipliez -3 par 0.
[5202504-14]+[-3000-31-30-30-30-31]
Étape 1.3.2.1.2.5
Multipliez -3 par 1.
[5202504-14]+[-3000-3-30-30-30-31]
Étape 1.3.2.1.2.6
Multipliez -3 par 0.
[5202504-14]+[-3000-30-30-30-31]
Étape 1.3.2.1.2.7
Multipliez -3 par 0.
[5202504-14]+[-3000-300-30-31]
Étape 1.3.2.1.2.8
Multipliez -3 par 0.
[5202504-14]+[-3000-3000-31]
Étape 1.3.2.1.2.9
Multipliez -3 par 1.
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
Étape 1.3.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
[5-32+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
Étape 1.3.2.3
Simplifiez chaque élément.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.3.1
Soustrayez 3 de 5.
[22+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
Étape 1.3.2.3.2
Additionnez 2 et 0.
[220+02+05-30+04+0-1+04-3]
Étape 1.3.2.3.3
Additionnez 0 et 0.
[2202+05-30+04+0-1+04-3]
Étape 1.3.2.3.4
Additionnez 2 et 0.
[22025-30+04+0-1+04-3]
Étape 1.3.2.3.5
Soustrayez 3 de 5.
[220220+04+0-1+04-3]
Étape 1.3.2.3.6
Additionnez 0 et 0.
[2202204+0-1+04-3]
Étape 1.3.2.3.7
Additionnez 4 et 0.
[2202204-1+04-3]
Étape 1.3.2.3.8
Additionnez -1 et 0.
[2202204-14-3]
Étape 1.3.2.3.9
Soustrayez 3 de 4.
[2202204-11]
[2202204-11]
[2202204-11]
Étape 1.3.3
Déterminez l’espace nul quand λ=3.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour Ax=0.
[220022004-110]
Étape 1.3.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.1
Multipliez chaque élément de R1 par 12 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de R1 par 12 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
[2222020222004-110]
Étape 1.3.3.2.1.2
Simplifiez R1.
[110022004-110]
[110022004-110]
Étape 1.3.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-2R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-2R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
[11002-212-210-200-204-110]
Étape 1.3.3.2.2.2
Simplifiez R2.
[110000004-110]
[110000004-110]
Étape 1.3.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-4R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-4R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
[110000004-41-1-411-400-40]
Étape 1.3.3.2.3.2
Simplifiez R3.
[110000000-510]
[110000000-510]
Étape 1.3.3.2.4
Inversez R3 avec R2 pour placer une entrée non nulle sur 2,2.
[11000-5100000]
Étape 1.3.3.2.5
Multipliez chaque élément de R2 par -15 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.5.1
Multipliez chaque élément de R2 par -15 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
[1100-150-15-5-151-1500000]
Étape 1.3.3.2.5.2
Simplifiez R2.
[110001-1500000]
[110001-1500000]
Étape 1.3.3.2.6
Réalisez l’opération de ligne R1=R1-R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.6.1
Réalisez l’opération de ligne R1=R1-R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
[1-01-10+150-001-1500000]
Étape 1.3.3.2.6.2
Simplifiez R1.
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
Étape 1.3.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
x+15z=0
y-15z=0
0=0
Étape 1.3.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
[xyz]=[-z5z5z]
Étape 1.3.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
[xyz]=z[-15151]
Étape 1.3.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
{z[-15151]|zR}
Étape 1.3.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
{[-15151]}
{[-15151]}
{[-15151]}
Étape 1.4
Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre λ=4.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
N([5202504-14]-4[100010001])
Étape 1.4.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1.1
Multipliez -4 par chaque élément de la matrice.
[5202504-14]+[-41-40-40-40-41-40-40-40-41]
Étape 1.4.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1.2.1
Multipliez -4 par 1.
[5202504-14]+[-4-40-40-40-41-40-40-40-41]
Étape 1.4.2.1.2.2
Multipliez -4 par 0.
[5202504-14]+[-40-40-40-41-40-40-40-41]
Étape 1.4.2.1.2.3
Multipliez -4 par 0.
[5202504-14]+[-400-40-41-40-40-40-41]
Étape 1.4.2.1.2.4
Multipliez -4 par 0.
[5202504-14]+[-4000-41-40-40-40-41]
Étape 1.4.2.1.2.5
Multipliez -4 par 1.
[5202504-14]+[-4000-4-40-40-40-41]
Étape 1.4.2.1.2.6
Multipliez -4 par 0.
[5202504-14]+[-4000-40-40-40-41]
Étape 1.4.2.1.2.7
Multipliez -4 par 0.
[5202504-14]+[-4000-400-40-41]
Étape 1.4.2.1.2.8
Multipliez -4 par 0.
[5202504-14]+[-4000-4000-41]
Étape 1.4.2.1.2.9
Multipliez -4 par 1.
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
Étape 1.4.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
[5-42+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
Étape 1.4.2.3
Simplifiez chaque élément.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.3.1
Soustrayez 4 de 5.
[12+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
Étape 1.4.2.3.2
Additionnez 2 et 0.
[120+02+05-40+04+0-1+04-4]
Étape 1.4.2.3.3
Additionnez 0 et 0.
[1202+05-40+04+0-1+04-4]
Étape 1.4.2.3.4
Additionnez 2 et 0.
[12025-40+04+0-1+04-4]
Étape 1.4.2.3.5
Soustrayez 4 de 5.
[120210+04+0-1+04-4]
Étape 1.4.2.3.6
Additionnez 0 et 0.
[1202104+0-1+04-4]
Étape 1.4.2.3.7
Additionnez 4 et 0.
[1202104-1+04-4]
Étape 1.4.2.3.8
Additionnez -1 et 0.
[1202104-14-4]
Étape 1.4.2.3.9
Soustrayez 4 de 4.
[1202104-10]
[1202104-10]
[1202104-10]
Étape 1.4.3
Déterminez l’espace nul quand λ=4.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour Ax=0.
[120021004-100]
Étape 1.4.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-2R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-2R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
[12002-211-220-200-204-100]
Étape 1.4.3.2.1.2
Simplifiez R2.
[12000-3004-100]
[12000-3004-100]
Étape 1.4.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-4R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-4R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
[12000-3004-41-1-420-400-40]
Étape 1.4.3.2.2.2
Simplifiez R3.
[12000-3000-900]
[12000-3000-900]
Étape 1.4.3.2.3
Multipliez chaque élément de R2 par -13 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.3.1
Multipliez chaque élément de R2 par -13 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
[1200-130-13-3-130-1300-900]
Étape 1.4.3.2.3.2
Simplifiez R2.
[120001000-900]
[120001000-900]
Étape 1.4.3.2.4
Réalisez l’opération de ligne R3=R3+9R2 pour faire de l’entrée sur 3,2 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.4.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3+9R2 pour faire de l’entrée sur 3,2 un 0.
[120001000+90-9+910+900+90]
Étape 1.4.3.2.4.2
Simplifiez R3.
[120001000000]
[120001000000]
Étape 1.4.3.2.5
Réalisez l’opération de ligne R1=R1-2R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.5.1
Réalisez l’opération de ligne R1=R1-2R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
[1-202-210-200-2001000000]
Étape 1.4.3.2.5.2
Simplifiez R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Étape 1.4.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
x=0
y=0
0=0
Étape 1.4.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
[xyz]=[00z]
Étape 1.4.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
[xyz]=z[001]
Étape 1.4.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
{z[001]|zR}
Étape 1.4.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Étape 1.5
Déterminez le vecteur propre à l’aide de la valeur propre λ=7.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
N([5202504-14]-7[100010001])
Étape 1.5.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.1.1
Multipliez -7 par chaque élément de la matrice.
[5202504-14]+[-71-70-70-70-71-70-70-70-71]
Étape 1.5.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.1.2.1
Multipliez -7 par 1.
[5202504-14]+[-7-70-70-70-71-70-70-70-71]
Étape 1.5.2.1.2.2
Multipliez -7 par 0.
[5202504-14]+[-70-70-70-71-70-70-70-71]
Étape 1.5.2.1.2.3
Multipliez -7 par 0.
[5202504-14]+[-700-70-71-70-70-70-71]
Étape 1.5.2.1.2.4
Multipliez -7 par 0.
[5202504-14]+[-7000-71-70-70-70-71]
Étape 1.5.2.1.2.5
Multipliez -7 par 1.
[5202504-14]+[-7000-7-70-70-70-71]
Étape 1.5.2.1.2.6
Multipliez -7 par 0.
[5202504-14]+[-7000-70-70-70-71]
Étape 1.5.2.1.2.7
Multipliez -7 par 0.
[5202504-14]+[-7000-700-70-71]
Étape 1.5.2.1.2.8
Multipliez -7 par 0.
[5202504-14]+[-7000-7000-71]
Étape 1.5.2.1.2.9
Multipliez -7 par 1.
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
Étape 1.5.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
[5-72+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
Étape 1.5.2.3
Simplifiez chaque élément.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.2.3.1
Soustrayez 7 de 5.
[-22+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
Étape 1.5.2.3.2
Additionnez 2 et 0.
[-220+02+05-70+04+0-1+04-7]
Étape 1.5.2.3.3
Additionnez 0 et 0.
[-2202+05-70+04+0-1+04-7]
Étape 1.5.2.3.4
Additionnez 2 et 0.
[-22025-70+04+0-1+04-7]
Étape 1.5.2.3.5
Soustrayez 7 de 5.
[-2202-20+04+0-1+04-7]
Étape 1.5.2.3.6
Additionnez 0 et 0.
[-2202-204+0-1+04-7]
Étape 1.5.2.3.7
Additionnez 4 et 0.
[-2202-204-1+04-7]
Étape 1.5.2.3.8
Additionnez -1 et 0.
[-2202-204-14-7]
Étape 1.5.2.3.9
Soustrayez 7 de 4.
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
Étape 1.5.3
Déterminez l’espace nul quand λ=7.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour Ax=0.
[-22002-2004-1-30]
Étape 1.5.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.1
Multipliez chaque élément de R1 par -12 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de R1 par -12 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
[-12-2-122-120-1202-2004-1-30]
Étape 1.5.3.2.1.2
Simplifiez R1.
[1-1002-2004-1-30]
[1-1002-2004-1-30]
Étape 1.5.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-2R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-2R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
[1-1002-21-2-2-10-200-204-1-30]
Étape 1.5.3.2.2.2
Simplifiez R2.
[1-10000004-1-30]
[1-10000004-1-30]
Étape 1.5.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-4R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-4R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
[1-10000004-41-1-4-1-3-400-40]
Étape 1.5.3.2.3.2
Simplifiez R3.
[1-100000003-30]
[1-100000003-30]
Étape 1.5.3.2.4
Inversez R3 avec R2 pour placer une entrée non nulle sur 2,2.
[1-10003-300000]
Étape 1.5.3.2.5
Multipliez chaque élément de R2 par 13 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.5.1
Multipliez chaque élément de R2 par 13 pour faire de l’entrée sur 2,2 un 1.
[1-1000333-33030000]
Étape 1.5.3.2.5.2
Simplifiez R2.
[1-10001-100000]
[1-10001-100000]
Étape 1.5.3.2.6
Réalisez l’opération de ligne R1=R1+R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.6.1
Réalisez l’opération de ligne R1=R1+R2 pour faire de l’entrée sur 1,2 un 0.
[1+0-1+110-10+001-100000]
Étape 1.5.3.2.6.2
Simplifiez R1.
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
Étape 1.5.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
x-z=0
y-z=0
0=0
Étape 1.5.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
[xyz]=[zzz]
Étape 1.5.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
[xyz]=z[111]
Étape 1.5.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
{z[111]|zR}
Étape 1.5.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
{[111]}
{[111]}
{[111]}
Étape 1.6
L’espace propre de A est la liste de l’espace de vecteur de chaque valeur propre.
{[-15151],[001],[111]}
{[-15151],[001],[111]}
Étape 2
Définissez P comme une matrice des vecteurs propres.
P=[-15011501111]
Étape 3
Déterminez l’inverse de P.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Déterminez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments 0. S’il n’y a aucun élément 0, choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne 2 par son cofacteur et additionnez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
|+-+-+-+-+|
Étape 3.1.1.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position - sur le tableau de signes.
Étape 3.1.1.3
Le mineur pour a12 est le déterminant dont la ligne 1 et la colonne 2 sont supprimées.
|15111|
Étape 3.1.1.4
Multipliez l’élément a12 par son cofacteur.
0|15111|
Étape 3.1.1.5
Le mineur pour a22 est le déterminant dont la ligne 2 et la colonne 2 sont supprimées.
|-15111|
Étape 3.1.1.6
Multipliez l’élément a22 par son cofacteur.
0|-15111|
Étape 3.1.1.7
Le mineur pour a32 est le déterminant dont la ligne 3 et la colonne 2 sont supprimées.
|-151151|
Étape 3.1.1.8
Multipliez l’élément a32 par son cofacteur.
-1|-151151|
Étape 3.1.1.9
Additionnez les termes entre eux.
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
Étape 3.1.2
Multipliez 0 par |15111|.
0+0|-15111|-1|-151151|
Étape 3.1.3
Multipliez 0 par |-15111|.
0+0-1|-151151|
Étape 3.1.4
Évaluez |-151151|.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.4.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
0+0-1(-151-151)
Étape 3.1.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.4.2.1.1
Multipliez -1 par 1.
0+0-1(-15-151)
Étape 3.1.4.2.1.2
Multipliez -1 par 1.
0+0-1(-15-15)
0+0-1(-15-15)
Étape 3.1.4.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
0+0-1-1-15
Étape 3.1.4.2.3
Soustrayez 1 de -1.
0+0-1(-25)
Étape 3.1.4.2.4
Placez le signe moins devant la fraction.
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
0+0-1(-25)
Étape 3.1.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.5.1
Multipliez -1(-25).
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.5.1.1
Multipliez -1 par -1.
0+0+1(25)
Étape 3.1.5.1.2
Multipliez 25 par 1.
0+0+25
0+0+25
Étape 3.1.5.2
Additionnez 0 et 0.
0+25
Étape 3.1.5.3
Additionnez 0 et 25.
25
25
25
Étape 3.2
Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.
Étape 3.3
Définissez une matrice 3×6 où la moitié de gauche est la matrice d’origine et la moitié de droite est la matrice identité.
P-1=[-15011001501010111001]
Étape 3.4
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.1
Multipliez chaque élément de R1 par -5 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.1.1
Multipliez chaque élément de R1 par -5 pour faire de l’entrée sur 1,1 un 1.
P-1=[-5(-15)-50-51-51-50-501501010111001]
Étape 3.4.1.2
Simplifiez R1.
P-1=[10-5-5001501010111001]
P-1=[10-5-5001501010111001]
Étape 3.4.2
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-15R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.2.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-15R1 pour faire de l’entrée sur 2,1 un 0.
P-1=[10-5-50015-1510-1501-15-50-15-51-1500-150111001]
Étape 3.4.2.2
Simplifiez R2.
P-1=[10-5-500002110111001]
P-1=[10-5-500002110111001]
Étape 3.4.3
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.3.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-R1 pour faire de l’entrée sur 3,1 un 0.
P-1=[10-5-5000021101-11-01+50+50-01-0]
Étape 3.4.3.2
Simplifiez R3.
P-1=[10-5-500002110016501]
P-1=[10-5-500002110016501]
Étape 3.4.4
Inversez R3 avec R2 pour placer une entrée non nulle sur 2,2.
P-1=[10-5-500016501002110]
Étape 3.4.5
Multipliez chaque élément de R3 par 12 pour faire de l’entrée sur 3,3 un 1.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.5.1
Multipliez chaque élément de R3 par 12 pour faire de l’entrée sur 3,3 un 1.
P-1=[10-5-500016501020222121202]
Étape 3.4.5.2
Simplifiez R3.
P-1=[10-5-50001650100112120]
P-1=[10-5-50001650100112120]
Étape 3.4.6
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-6R3 pour faire de l’entrée sur 2,3 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.6.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-6R3 pour faire de l’entrée sur 2,3 un 0.
P-1=[10-5-5000-601-606-615-6(12)0-6(12)1-6000112120]
Étape 3.4.6.2
Simplifiez R2.
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
P-1=[10-5-5000102-3100112120]
Étape 3.4.7
Réalisez l’opération de ligne R1=R1+5R3 pour faire de l’entrée sur 1,3 un 0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.7.1
Réalisez l’opération de ligne R1=R1+5R3 pour faire de l’entrée sur 1,3 un 0.
P-1=[1+500+50-5+51-5+5(12)0+5(12)0+500102-3100112120]
Étape 3.4.7.2
Simplifiez R1.
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
P-1=[100-525200102-3100112120]
Étape 3.5
La moitié droite de la forme d’échelon en ligne réduite est l’inverse.
P-1=[-525202-3112120]
P-1=[-525202-3112120]
Étape 4
Utilisez la transformée de similarité pour déterminer la matrice diagonale D.
D=P-1AP
Étape 5
Remplacez les matrices.
[-525202-3112120][5202504-14][-15011501111]
Étape 6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Multipliez [-525202-3112120][5202504-14].
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.1
Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est 3×3 et la deuxième matrice est 3×3.
Étape 6.1.2
Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.
[-525+522+04-522+525+0-1-520+520+0425-32+1422-35+1-120-30+14125+122+04122+125+0-1120+120+04][-15011501111]
Étape 6.1.3
Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.
[-15215208-12472720][-15011501111]
[-15215208-12472720][-15011501111]
Étape 6.2
Multipliez [-15215208-12472720][-15011501111].
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est 3×3 et la deuxième matrice est 3×3.
Étape 6.2.2
Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.
[-152(-15)+15215+01-1520+1520+01-1521+1521+018(-15)-12(15)+4180-120+4181-121+4172(-15)+7215+01720+720+01721+721+01]
Étape 6.2.3
Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.
[300040007]
[300040007]
[300040007]
Saisissez VOTRE problème
using Amazon.Auth.AccessControlPolicy;
Mathway nécessite Javascript et un navigateur récent.
 [x2  12  π  xdx ] 
AmazonPay