Algèbre linéaire Exemples

A = [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array}]

$A = [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$ ,

x = [\begin{array}{c} - 12 \\ 0 \\ - 4 \end{array}]

$x = [\begin{array}{c} - 12 \\ 0 \\ - 4 \end{array}]$

Étape 1

Écrivez comme une matrice augmentée pour

A x = [\begin{array}{c} - 12 \\ 0 \\ - 4 \end{array}]

$A x = [\begin{array}{c} - 12 \\ 0 \\ - 4 \end{array}]$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 & - 12 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & - 12 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 12 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 12 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.2

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 2.2.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 1 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 6 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 1 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 6 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & - 3 & 12 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & - 3 & 12 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & - 3 & 12 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & - 3 & 12 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.3

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 12 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 12 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.4

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - R_{2}

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

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Étape 2.4.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - R_{2}

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 4 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.5

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

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Étape 2.5.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 6 - 4 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 6 - 4 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Écrivez la matrice comme un système d’équations linéaires.

x = 2

$x = 2$

y = - 4

$y = - 4$

0 = 0

$0 = 0$

Étape 4

Écrivez les solutions comme un ensemble de vecteurs.

{[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \end{array}]}$

Saisissez VOTRE problème