Algèbre linéaire Exemples

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 a - 6 b + 6 c a + 2 b + c 2 a + b + 2 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

Étape 1

Le noyau d’une transformation est un vecteur qui rend cette transformation égale au vecteur nul (la préimage de la transformation).

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 a - 6 b + 6 c a + 2 b + c 2 a + b + 2 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = 0

$[\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}] = 0$

Étape 2

Créez un système d’équations à partir de l’équation vectorielle.

2 a - 6 b + 6 c = 0

$2 a - 6 b + 6 c = 0$

a + 2 b + c = 0

$a + 2 b + c = 0$

2 a + b + 2 c = 0

$2 a + b + 2 c = 0$

Étape 3

Écrivez le système comme une matrice.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 6 & 6 & 0 1 & 2 & 1 & 0 2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{- 6}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} 1 & 2 & 1 & 0 2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 6}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.2

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 1$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 - 1 & 2 + 3 & 1 - 3 & 0 - 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 2 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.4

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.5

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 (- \frac{2}{5}) & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 4.6

Multipliez chaque élément de

$R_{3}$ par

$- \frac{5}{6}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 3$ un

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Multipliez chaque élément de

$R_{3}$ par

$- \frac{5}{6}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 3$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} (- \frac{6}{5}) & - \frac{5}{6} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.7

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 3$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.7.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.8

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 3$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.8.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.9

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.9.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

Étape 6

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 7

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Étape 8

Le noyau de

$S$ est le sous-espace

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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