Algèbre linéaire Exemples

$B = {[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 7 \end{array}], [\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \\ 8 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}]}$

Étape 1

Pour déterminer si les colonnes dans la matrice sont linéairement dépendantes, déterminez si l’équation $A x = 0$ a des solutions non triviales.

Étape 2

Écrivez comme une matrice augmentée pour $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 3.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{19}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{19}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

Étape 3.6

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- \frac{19}{146}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 3.6.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- \frac{19}{146}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 3.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.9

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 3.9.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Écrivez la matrice comme un système d’équations linéaires.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Étape 5

Comme la seule solution à $A x = 0$ est la solution triviale, les vecteurs sont dépendants linéairement.

Indépendant linéairement

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