Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 8 & 1 & 10 6 & 2 & 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 10 \\ 6 & 2 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Pour déterminer si les colonnes dans la matrice sont linéairement dépendantes, déterminez si l’équation

A x = 0

$A x = 0$ a des solutions non triviales.

Étape 2

Écrivez comme une matrice augmentée pour

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 8 & 1 & 10 & 0 6 & 2 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 3.1.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 6 & 2 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 15 & 2 & 0 6 & 2 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 15 & 2 & 0 6 & 2 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 15 & 2 & 0 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 15 & 2 & 0 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 15 & 2 & 0 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

- \frac{1}{15}

$- \frac{1}{15}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

- \frac{1}{15}

$- \frac{1}{15}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.4

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

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Étape 3.4.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 3.5

Multipliez chaque élément de

R_{3}

$R_{3}$ par

- \frac{3}{7}

$- \frac{3}{7}$ pour faire de l’entrée sur

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez chaque élément de

R_{3}

$R_{3}$ par

- \frac{3}{7}

$- \frac{3}{7}$ pour faire de l’entrée sur

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}

$R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

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Étape 3.6.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}

$R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - R_{3}

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - R_{3}

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Écrivez la matrice comme un système d’équations linéaires.

x = 0

$x = 0$

y = 0

$y = 0$

z = 0

$z = 0$

Étape 5

Comme la seule solution à

A x = 0

$A x = 0$ est la solution triviale, les vecteurs sont dépendants linéairement.

Indépendant linéairement

Saisissez VOTRE problème