Algèbre linéaire Exemples

$A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 \\ 8 & 1 & 10 \\ - 6 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Étape 1

Pour déterminer si les colonnes dans la matrice sont linéairement dépendantes, déterminez si l’équation $A x = 0$ a des solutions non triviales.

Étape 2

Écrivez comme une matrice augmentée pour $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 3.1.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 10 & 0 - 8 \cdot 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & - 2 + 6 \cdot 2 & - 5 + 6 \cdot 10 & 0 + 6 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{15}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{15}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot - 70 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

Étape 3.4

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 3.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 55 - 10 (\frac{14}{3}) & 0 - 10 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{25}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 3.5

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{3}{25}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{3}{25}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ \frac{3}{25} \cdot 0 & \frac{3}{25} \cdot 0 & \frac{3}{25} \cdot \frac{25}{3} & \frac{3}{25} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - \frac{14}{3} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 3.6.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - \frac{14}{3} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 - \frac{14}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{14}{3} \cdot 0 & \frac{14}{3} - \frac{14}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{14}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 10 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 10 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 10 \cdot 0 & 2 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 0 - 10 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 3.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Écrivez la matrice comme un système d’équations linéaires.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Étape 5

Comme la seule solution à $A x = 0$ est la solution triviale, les vecteurs sont dépendants linéairement.

Indépendant linéairement

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