Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 13 & - 8 & - 4 12 & 7 & 4 24 & 16 & 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$3$ est la matrice carrée

$3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{3}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez

$- 8$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez

$12$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez

$24$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez

$16$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 & 7 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) ((7 - λ) (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.1

Développez

$(7 - λ) (7 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 (7 - λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1.1

Multipliez

$7$ par

$7$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$7$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.3

Multipliez

$7$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.2

Soustrayez

$7 λ$ de

$- 7 λ$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.3

Multipliez

$- 16$ par

$4$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 64) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.2

Soustrayez

$64$ de

$49$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 14 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 (7 - λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 \cdot 7 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2

Multipliez

$12$ par

$7$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$12$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.4

Multipliez

$- 24$ par

$4$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 96) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.2

Soustrayez

$96$ de

$84$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Étape 1.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (12 \cdot 16 - 24 (7 - λ))$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Multipliez

$12$ par

$16$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 (7 - λ))$

Étape 1.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 \cdot 7 - 24 (- λ))$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez

$- 24$ par

$7$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 - 24 (- λ))$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 24$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 + 24 λ)$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez

$168$ de

$192$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 + 24 λ)$

Étape 1.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$24$ et

$24 λ$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.1

Développez

$(- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 13 (- 14 λ) - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.1.2.1

Multipliez

$- 14$ par

$- 13$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.2

Multipliez

$- 13$ par

$- 15$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.1.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 14$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.2.7

Multipliez

$- 15$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.3

Additionnez

$- 13 λ^{2}$ et

$14 λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.4

Additionnez

$182 λ$ et

$15 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ) + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.6

Multipliez

$- 12$ par

$8$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.7

Multipliez

$8$ par

$- 12$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ + 24)$

Étape 1.5.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ) - 4 \cdot 24$

Étape 1.5.5.1.9

Multipliez

$24$ par

$- 4$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 4 \cdot 24$

Étape 1.5.5.1.10

Multipliez

$- 4$ par

$24$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 96$

Étape 1.5.5.2

Soustrayez

$96 λ$ de

$197 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} + 101 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96 λ - 96$

Étape 1.5.5.3

Soustrayez

$96 λ$ de

$101 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96$

Étape 1.5.5.4

Soustrayez

$96$ de

$195$ .

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 99 - 96$

Étape 1.5.5.5

Soustrayez

$96$ de

$99$ .

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 3$

Étape 1.5.5.6

Déplacez

$5 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 5 λ + 3$

Étape 1.5.5.7

Remettez dans l’ordre

$λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3 = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Factorisez

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

$\frac{p}{q}$ où

$p$ est un facteur de la constante et

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3$

Étape 1.7.1.1.3

Remplacez

$- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à

$0$ donc

$- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.7.1.1.3.1

Remplacez

$- 1$ dans le polynôme.

$- {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.7.1.1.3.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$3$ .

$- - 1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.7.1.1.3.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.7.1.1.3.4

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$1 + 1 + 5 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.7.1.1.3.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$2 + 5 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.7.1.1.3.6

Multipliez

$5$ par

$- 1$ .

$2 - 5 + 3$

Étape 1.7.1.1.3.7

Soustrayez

$5$ de

$2$ .

$- 3 + 3$

Étape 1.7.1.1.3.8

Additionnez

$- 3$ et

$3$ .

$0$

Étape 1.7.1.1.4

Comme

$- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par

$λ + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3}{λ + 1}$

Étape 1.7.1.1.5

Divisez

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ par

$λ + 1$ .

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Étape 1.7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de

$0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$λ^{2}$

$5 λ$

$3$

Étape 1.7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$- λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$

Étape 1.7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$- λ^{3} - λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$

Étape 1.7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$2 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$

Étape 1.7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					+	$2 λ^{2}$	+	$2 λ$

Étape 1.7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$2 λ^{2} + 2 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$

Étape 1.7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$

Étape 1.7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$

Étape 1.7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$3 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$

Étape 1.7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$
							+	$3 λ$	+	$3$

Étape 1.7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$3 λ + 3$

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$
							-	$3 λ$	-	$3$

Étape 1.7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$
							-	$3 λ$	-	$3$
										$0$

Étape 1.7.1.1.5.16

Comme le reste est

$0$ , la réponse finale est le quotient.

$- λ^{2} + 2 λ + 3$

Étape 1.7.1.1.6

Écrivez

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ + 1) (- λ^{2} + 2 λ + 3) = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.7.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.7.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme

$a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est

$a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est

$b = 2$ .

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Étape 1.7.1.2.1.1.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2 λ$ .

$(λ + 1) (- λ^{2} + 2 (λ) + 3) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.1.2

Réécrivez

$2$ comme

$- 1$ plus

$3$

$(λ + 1) (- λ^{2} + (- 1 + 3) λ + 3) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(λ + 1) (- λ^{2} - 1 λ + 3 λ + 3) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.7.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(λ + 1) ((- λ^{2} - 1 λ) + 3 λ + 3) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(λ + 1) (λ (- λ - 1) - 3 (- λ - 1)) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

$- λ - 1$ .

$(λ + 1) ((- λ - 1) (λ - 3)) = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$λ + 1 = 0$

$- λ - 1 = 0$

$λ - 3 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez

$λ + 1$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Définissez

$λ + 1$ égal à

$0$ .

$λ + 1 = 0$

Étape 1.7.3.2

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$λ = - 1$

Étape 1.7.4

Définissez

$λ - 3$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez

$λ - 3$ égal à

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 1.7.4.2

Ajoutez

$3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$ vraie.

$λ = - 1, 3$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 1$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 13 + 1 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Additionnez

$- 13$ et

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Additionnez

$- 8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.3

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.4

Additionnez

$12$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.5

Additionnez

$7$ et

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.6

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.7

Additionnez

$24$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.8

Additionnez

$16$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 7 + 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.9

Additionnez

$7$ et

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 8 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when

$λ = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{12}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{12}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{12} \cdot - 12 & - \frac{1}{12} \cdot - 8 & - \frac{1}{12} \cdot - 4 & - \frac{1}{12} \cdot 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 8 - 12 (\frac{2}{3}) & 4 - 12 (\frac{1}{3}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{2}{3}) & 8 - 24 (\frac{1}{3}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{3} z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} - \frac{z}{3} \\ y \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez

$- 3$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 13 - 3 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Soustrayez

$3$ de

$- 13$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez

$- 8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez

$12$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Soustrayez

$3$ de

$7$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez

$24$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez

$16$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 7 - 3 \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Soustrayez

$3$ de

$7$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 4 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when

$λ = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{16}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{16}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 16 & - \frac{1}{16} \cdot - 8 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 & - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 4 - 12 (\frac{1}{2}) & 4 - 12 (\frac{1}{4}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{1}{2}) & 4 - 24 (\frac{1}{4}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & - 2 - 4 (- \frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

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