Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $12$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 + 0 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 + 0 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $9$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $6$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 + 0 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 + 0 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & - 4 + 0 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 1 & - 2 & - 4 \\ 12 & 1 - λ & 4 & 9 \\ 6 & 5 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & - 4 & 5 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 4 & 9 \\ 5 & - 2 - λ & - 4 \\ - 4 & 5 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 & 9 \\ 5 & - 2 - λ & - 4 \\ - 4 & 5 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 & 9 \\ 5 & - 2 - λ & - 4 \\ - 4 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 - λ & 4 & 9 \\ 5 & - 2 - λ & - 4 \\ - 4 & 5 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 \\ 5 & 10 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) ((- 2 - λ) (10 - λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.1

Développez $(- 2 - λ) (10 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 2 (10 - λ) - λ (10 - λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 2 \cdot 10 - 2 (- λ) - λ (10 - λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 2 \cdot 10 - 2 (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 - 2 (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.1.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ - λ (- λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 + 2 λ - 10 λ + λ^{2} - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.2

Soustrayez $10 λ$ de $2 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 - 8 λ + λ^{2} - 5 \cdot - 4) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 20 - 8 λ + λ^{2} + 20) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.2

Associez les termes opposés dans $- 20 - 8 λ + λ^{2} + 20$ .

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Étape 5.2.2.2.2.1

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 0) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.2.2

Additionnez $- 8 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (- 8 λ + λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.3

Remettez dans l’ordre $- 8 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (5 (10 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (5 \cdot 10 + 5 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2

Multipliez $5$ par $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (50 + 5 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (50 - 5 λ - (- 4 \cdot - 4)) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.4

Multipliez $- (- 4 \cdot - 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (50 - 5 λ - 1 \cdot 16) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (50 - 5 λ - 16) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.2

Soustrayez $16$ de $50$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (5 \cdot 5 - (- 4 (- 2 - λ)))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - (- 4 (- 2 - λ)))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - (- 4 \cdot - 2 - 4 (- λ)))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - (8 - 4 (- λ)))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - (8 + 4 λ))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - 1 \cdot 8 - (4 λ))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - 8 - (4 λ))) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4.2.1.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (25 - 8 - 4 λ)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4.2.2

Soustrayez $8$ de $25$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (17 - 4 λ)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.4.2.3

Remettez dans l’ordre $17$ et $- 4 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.1.1

Développez $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (1 (λ^{2} - 8 λ) - λ (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 8 λ) - λ (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 8 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.1.2.1.1

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 1 (- 8 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.1.2

Multipliez $- 8 λ$ par $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.1.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.5.1.2.1.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.1.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.2.5.1.2.1.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - λ (- 8 λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 8 λ^{2} - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.2.2

Additionnez $λ^{2}$ et $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 4 (- 5 λ + 34) + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} - 4 (- 5 λ) - 4 \cdot 34 + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 4 \cdot 34 + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.5

Multipliez $- 4$ par $34$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 136 + 9 (- 4 λ + 17)) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 136 + 9 (- 4 λ) + 9 \cdot 17) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 136 - 36 λ + 9 \cdot 17) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.1.8

Multipliez $9$ par $17$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 20 λ - 136 - 36 λ + 153) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $- 8 λ$ et $20 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - λ^{3} + 12 λ - 136 - 36 λ + 153) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.3

Soustrayez $36 λ$ de $12 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - λ^{3} - 24 λ - 136 + 153) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.4

Additionnez $- 136$ et $153$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (9 λ^{2} - λ^{3} - 24 λ + 17) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.2.5.5

Remettez dans l’ordre $9 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 | \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 12 & 4 & 9 \\ 6 & - 2 - λ & - 4 \\ 3 & 5 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Étape 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.3.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 | \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 5 & 10 - λ \end{array} | + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 9 \\ 5 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (4 (10 - λ) - 5 \cdot 9) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (4 \cdot 10 + 4 (- λ) - 5 \cdot 9) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (40 + 4 (- λ) - 5 \cdot 9) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (40 - 4 λ - 5 \cdot 9) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (40 - 4 λ - 45) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2.2

Soustrayez $45$ de $40$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 12 & 9 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (12 (10 - λ) - 3 \cdot 9) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (12 \cdot 10 + 12 (- λ) - 3 \cdot 9) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.3.2.1.2

Multipliez $12$ par $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (120 + 12 (- λ) - 3 \cdot 9) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (120 - 12 λ - 3 \cdot 9) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.3.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (120 - 12 λ - 27) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.3.2.2

Soustrayez $27$ de $120$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 (12 \cdot 5 - 3 \cdot 4)) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.2.1.1

Multipliez $12$ par $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 (60 - 3 \cdot 4)) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 (60 - 12)) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.2

Soustrayez $12$ de $60$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ - 5) + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 6 (- 4 λ) - 6 \cdot - 5 + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ - 6 \cdot - 5 + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + (- 2 - λ) (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.4

Développez $(- 2 - λ) (- 12 λ + 93)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 2 (- 12 λ + 93) - λ (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 2 (- 12 λ) - 2 \cdot 93 - λ (- 12 λ + 93) + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 2 (- 12 λ) - 2 \cdot 93 - λ (- 12 λ) - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.5.1.5.1.1

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 2 \cdot 93 - λ (- 12 λ) - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $93$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 - λ (- 12 λ) - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.5.1.4

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.5.1.5.1.4.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.5.1.4.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 + 12 λ^{2} - λ \cdot 93 + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.5.1.6

Multipliez $93$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 + 24 λ - 186 + 12 λ^{2} - 93 λ + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.5.2

Soustrayez $93 λ$ de $24 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 69 λ - 186 + 12 λ^{2} + 4 \cdot 48) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.1.6

Multipliez $4$ par $48$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (24 λ + 30 - 69 λ - 186 + 12 λ^{2} + 192) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2

Soustrayez $69 λ$ de $24 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 45 λ + 30 - 186 + 12 λ^{2} + 192) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.3

Soustrayez $186$ de $30$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 45 λ - 156 + 12 λ^{2} + 192) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.4

Additionnez $- 156$ et $192$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (- 45 λ + 12 λ^{2} + 36) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.3.5.5

Remettez dans l’ordre $- 45 λ$ et $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 9 \\ 6 & 5 & - 4 \\ 3 & - 4 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 | \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 4 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (5 (10 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (5 \cdot 10 + 5 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (50 + 5 (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (50 - 5 λ - (- 4 \cdot - 4)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.2.2.1.4

Multipliez $- (- 4 \cdot - 4)$ .

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Étape 5.4.2.2.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (50 - 5 λ - 1 \cdot 16) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.2.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (50 - 5 λ - 16) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.2.2.2

Soustrayez $16$ de $50$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 6 & - 4 \\ 3 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (6 (10 - λ) - 3 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (6 \cdot 10 + 6 (- λ) - 3 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.1.2

Multipliez $6$ par $10$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (60 + 6 (- λ) - 3 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (60 - 6 λ - 3 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (60 - 6 λ + 12) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.2

Additionnez $60$ et $12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 (6 \cdot - 4 - 3 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.4.2.1.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 (- 24 - 3 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 (- 24 - 15)) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.2

Soustrayez $15$ de $- 24$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ + 34) - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (12 (- 5 λ) + 12 \cdot 34 - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.2

Multipliez $- 5$ par $12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 12 \cdot 34 - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.3

Multipliez $12$ par $34$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 - (1 - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + (- 1 \cdot 1 - - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + (- 1 - - λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.6

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 5.4.5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + (- 1 + 1 λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.6.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + (- 1 + λ) (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.7

Développez $(- 1 + λ) (- 6 λ + 72)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.5.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 - 1 (- 6 λ + 72) + λ (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 - 1 (- 6 λ) - 1 \cdot 72 + λ (- 6 λ + 72) + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 - 1 (- 6 λ) - 1 \cdot 72 + λ (- 6 λ) + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.5.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.5.1.8.1.1

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 1 \cdot 72 + λ (- 6 λ) + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $72$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 + λ (- 6 λ) + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.8.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 - 6 λ \cdot λ + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.8.1.4

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.5.1.8.1.4.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 - 6 (λ \cdot λ) + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.8.1.4.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 - 6 λ^{2} + λ \cdot 72 + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.8.1.5

Déplacez $72$ à gauche de $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 6 λ - 72 - 6 λ^{2} + 72 λ + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.8.2

Additionnez $6 λ$ et $72 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 78 λ - 72 - 6 λ^{2} + 9 \cdot - 39) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.9

Multipliez $9$ par $- 39$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 60 λ + 408 + 78 λ - 72 - 6 λ^{2} - 351) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2

Additionnez $- 60 λ$ et $78 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (18 λ + 408 - 72 - 6 λ^{2} - 351) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3

Soustrayez $72$ de $408$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (18 λ + 336 - 6 λ^{2} - 351) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.4

Soustrayez $351$ de $336$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (18 λ - 6 λ^{2} - 15) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.4.5.5

Remettez dans l’ordre $18 λ$ et $- 6 λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 | \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 12 & 1 - λ & 4 \\ 6 & 5 & - 2 - λ \\ 3 & - 4 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 | \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & - 2 - λ \\ - 4 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (5 \cdot 5 - (- 4 (- 2 - λ))) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - (- 4 (- 2 - λ))) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - (- 4 \cdot - 2 - 4 (- λ))) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - (8 - 4 (- λ))) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - (8 + 4 λ)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - 1 \cdot 8 - (4 λ)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - 8 - (4 λ)) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2.2.1.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (25 - 8 - 4 λ) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2.2.2

Soustrayez $8$ de $25$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (17 - 4 λ) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.2.2.3

Remettez dans l’ordre $17$ et $- 4 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) | \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 6 & - 2 - λ \\ 3 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (6 \cdot 5 - 3 (- 2 - λ)) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.2.1.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (30 - 3 (- 2 - λ)) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (30 - 3 \cdot - 2 - 3 (- λ)) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (30 + 6 - 3 (- λ)) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (30 + 6 + 3 λ) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.2

Additionnez $30$ et $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (36 + 3 λ) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.3

Remettez dans l’ordre $36$ et $3 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 | \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |)$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 6 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 (6 \cdot - 4 - 3 \cdot 5))$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 (- 24 - 3 \cdot 5))$

Étape 5.5.4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 (- 24 - 15))$

Étape 5.5.4.2.2

Soustrayez $15$ de $- 24$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ + 17) - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (12 (- 4 λ) + 12 \cdot 17 - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 12 \cdot 17 - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.3

Multipliez $12$ par $17$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - (1 - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + (- 1 \cdot 1 - - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + (- 1 - - λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.6

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 5.5.5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + (- 1 + 1 λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.6.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + (- 1 + λ) (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.7

Développez $(- 1 + λ) (3 λ + 36)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 1 (3 λ + 36) + λ (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 1 (3 λ) - 1 \cdot 36 + λ (3 λ + 36) + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 1 (3 λ) - 1 \cdot 36 + λ (3 λ) + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.5.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.1.8.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 1 \cdot 36 + λ (3 λ) + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + λ (3 λ) + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.8.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + 3 λ \cdot λ + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.8.1.4

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.1.8.1.4.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + 3 (λ \cdot λ) + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.8.1.4.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + 3 λ^{2} + λ \cdot 36 + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.8.1.5

Déplacez $36$ à gauche de $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 - 3 λ - 36 + 3 λ^{2} + 36 λ + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.8.2

Additionnez $- 3 λ$ et $36 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + 33 λ - 36 + 3 λ^{2} + 4 \cdot - 39)$

Étape 5.5.5.1.9

Multipliez $4$ par $- 39$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 48 λ + 204 + 33 λ - 36 + 3 λ^{2} - 156)$

Étape 5.5.5.2

Additionnez $- 48 λ$ et $33 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 15 λ + 204 - 36 + 3 λ^{2} - 156)$

Étape 5.5.5.3

Soustrayez $36$ de $204$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 15 λ + 168 + 3 λ^{2} - 156)$

Étape 5.5.5.4

Soustrayez $156$ de $168$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (- 15 λ + 3 λ^{2} + 12)$

Étape 5.5.5.5

Remettez dans l’ordre $- 15 λ$ et $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17) - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1.1

Développez $(- 2 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 17)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = - 2 (- λ^{3}) - 2 (9 λ^{2}) - 2 (- 24 λ) - 2 \cdot 17 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 2 (9 λ^{2}) - 2 (- 24 λ) - 2 \cdot 17 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} - 2 (- 24 λ) - 2 \cdot 17 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.3

Multipliez $- 24$ par $- 2$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 2 \cdot 17 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.4

Multipliez $- 2$ par $17$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.6

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.1.2.6.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.6.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.1.2.6.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + 1 λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.8

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ^{2} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.10

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.1.2.10.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 (λ^{2} λ) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.10.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.1.2.10.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ^{2 + 1} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ^{3} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 λ \cdot λ - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.13

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.1.2.13.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 (λ \cdot λ) - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.13.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 λ^{2} - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.14

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} + 24 λ^{2} - λ \cdot 17 - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.2.15

Multipliez $17$ par $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 9 λ^{3} + 24 λ^{2} - 17 λ - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.3

Soustrayez $9 λ^{3}$ de $2 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} - 18 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} + 24 λ^{2} - 17 λ - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.4

Additionnez $- 18 λ^{2}$ et $24 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 48 λ - 34 + λ^{4} - 17 λ - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.5

Soustrayez $17 λ$ de $48 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 1 (12 λ^{2} - 45 λ + 36) - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 1 (12 λ^{2}) - 1 (- 45 λ) - 1 \cdot 36 - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.7

Simplifiez

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Étape 5.6.1.7.1

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} - 1 (- 45 λ) - 1 \cdot 36 - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.7.2

Multipliez $- 45$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 1 \cdot 36 - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.7.3

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 - 2 (- 6 λ^{2} + 18 λ - 15) + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 - 2 (- 6 λ^{2}) - 2 (18 λ) - 2 \cdot - 15 + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.9

Simplifiez

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Étape 5.6.1.9.1

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 2 (18 λ) - 2 \cdot - 15 + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.9.2

Multipliez $18$ par $- 2$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ - 2 \cdot - 15 + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.9.3

Multipliez $- 2$ par $- 15$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 4 (3 λ^{2} - 15 λ + 12)$

Étape 5.6.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 4 (3 λ^{2}) + 4 (- 15 λ) + 4 \cdot 12$

Étape 5.6.1.11

Simplifiez

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Étape 5.6.1.11.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} + 4 (- 15 λ) + 4 \cdot 12$

Étape 5.6.1.11.2

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 4 \cdot 12$

Étape 5.6.1.11.3

Multipliez $4$ par $12$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 48$

Étape 5.6.2

Associez les termes opposés dans $- 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} - 12 λ^{2} + 45 λ - 36 + 12 λ^{2} - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 48$ .

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Étape 5.6.2.1

Additionnez $- 12 λ^{2}$ et $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} + 45 λ - 36 + 0 - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 48$

Étape 5.6.2.2

Additionnez $- 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} + 45 λ - 36$ et $0$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 6 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} + 45 λ - 36 - 36 λ + 30 + 12 λ^{2} - 60 λ + 48$

Étape 5.6.3

Additionnez $6 λ^{2}$ et $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} + 31 λ - 34 + λ^{4} + 45 λ - 36 - 36 λ + 30 - 60 λ + 48$

Étape 5.6.4

Additionnez $31 λ$ et $45 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} + 76 λ - 34 + λ^{4} - 36 - 36 λ + 30 - 60 λ + 48$

Étape 5.6.5

Soustrayez $36 λ$ de $76 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} + 40 λ - 34 + λ^{4} - 36 + 30 - 60 λ + 48$

Étape 5.6.6

Soustrayez $60 λ$ de $40 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ - 34 + λ^{4} - 36 + 30 + 48$

Étape 5.6.7

Soustrayez $36$ de $- 34$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ + λ^{4} - 70 + 30 + 48$

Étape 5.6.8

Additionnez $- 70$ et $30$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ + λ^{4} - 40 + 48$

Étape 5.6.9

Additionnez $- 40$ et $48$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ + λ^{4} + 8$

Étape 5.6.10

Déplacez $- 20 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} + λ^{4} - 20 λ + 8$

Étape 5.6.11

Déplacez $18 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + λ^{4} + 18 λ^{2} - 20 λ + 8$

Étape 5.6.12

Remettez dans l’ordre $- 7 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 7 λ^{3} + 18 λ^{2} - 20 λ + 8$

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