Algèbre linéaire Exemples

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

2

$2$ est la matrice carrée

2 \times 2

$2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans

p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez

A

$A$ par

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$ .

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez

I_{2}

$I_{2}$ par

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

- λ

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez

0

$0$ par

- 1

$- 1$ .

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez

0

$0$ par

λ

$λ$ .

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez

0

$0$ par

- 1

$- 1$ .

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez

0

$0$ par

λ

$λ$ .

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplifiez chaque élément.

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Étape 4.3.1

Additionnez

2

$2$ et

0

$0$ .

p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez

3

$3$ et

0

$0$ .

p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 5

Déterminez le déterminant.

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Développez

(1 - λ) (5 - λ)

$(1 - λ) (5 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

1

$1$ .

p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.2

Multipliez

- λ

$- λ$ par

1

$1$ .

p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.3

Multipliez

5

$5$ par

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.5

Multipliez

λ

$λ$ par

λ

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1.5.1

Déplacez

λ

$λ$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.5.2

Multipliez

λ

$λ$ par

λ

$λ$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.6

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.7

Multipliez

λ^{2}

$λ^{2}$ par

1

$1$ .

p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.2

Soustrayez

5 λ

$5 λ$ de

- λ

$- λ$ .

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Étape 5.2.1.3

Multipliez

- 3

$- 3$ par

2

$2$ .

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

Étape 5.2.2

Soustrayez

6

$6$ de

5

$5$ .

p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre

- 6 λ

$- 6 λ$ et

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

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