Algèbre linéaire Exemples

$\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 + i}{- 4 + 2 i}$ par le conjugué de $- 4 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{3 + i}{- 4 + 2 i} \cdot \frac{- 4 - 2 i}{- 4 - 2 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(3 + i) (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(3 + i) (- 4 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- 4 - 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i (- 4 - 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot - 4 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{- 12 + 3 (- 2 i) + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 12 - 6 i + i \cdot - 4 + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $i$ .

$\frac{- 12 - 6 i - 4 \cdot i + i (- 2 i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $i (- 2 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i)}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{1 + 1}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i - 2 \cdot - 1}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 12 - 6 i - 4 i + 2}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 12$ et $2$ .

$\frac{- 10 - 6 i - 4 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $4 i$ de $- 6 i$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(- 4 + 2 i) (- 4 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 (- 4 - 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i (- 4 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 - 10 i}{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 (- 2 i) + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i + 2 i \cdot - 4 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $8 i$ de $8 i$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{16 + 4}$

Étape 2.3.4

Additionnez $16$ et $4$ .

$\frac{- 10 - 10 i}{20}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $- 10 - 10 i$ et $20$ .

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Étape 3.1

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$\frac{10 (- 1) - 10 i}{20}$

Étape 3.2

Factorisez $10$ à partir de $- 10 i$ .

$\frac{10 (- 1) + 10 (- i)}{20}$

Étape 3.3

Factorisez $10$ à partir de $10 (- 1) + 10 (- i)$ .

$\frac{10 (- 1 - i)}{20}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$\frac{10 (- 1 - i)}{10 \cdot 2}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (- 1 - i)}{10 \cdot 2}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 - i}{2}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{- 1 - i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{- 1}{2} + \frac{- i}{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

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