Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 1.2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 1.3
Remplacez les valeurs connues dans .
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par .
Étape 1.4
Simplifiez
Étape 1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 1.4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 1.4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.5
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.6
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.6.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.9
Multipliez par .
Étape 1.4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 1.4.3
Simplifiez chaque élément.
Étape 1.4.3.1
Additionnez et .
Étape 1.4.3.2
Additionnez et .
Étape 1.4.3.3
Additionnez et .
Étape 1.4.3.4
Additionnez et .
Étape 1.4.3.5
Additionnez et .
Étape 1.4.3.6
Additionnez et .
Étape 1.4.3.7
Soustrayez de .
Étape 1.5
Déterminez le déterminant.
Étape 1.5.1
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments . S’il n’y a aucun élément , choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne par son cofacteur et additionnez.
Étape 1.5.1.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
Étape 1.5.1.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position sur le tableau de signes.
Étape 1.5.1.3
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 1.5.1.4
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 1.5.1.5
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 1.5.1.6
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 1.5.1.7
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 1.5.1.8
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 1.5.1.9
Additionnez les termes entre eux.
Étape 1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4
Évaluez .
Étape 1.5.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 1.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 1.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.4.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 1.5.4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 1.5.4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.4.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.4.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.5.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 1.5.5.1
Associez les termes opposés dans .
Étape 1.5.5.1.1
Additionnez et .
Étape 1.5.5.1.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.5.3
Simplifiez
Étape 1.5.5.3.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.5.5.3.1.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.3.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.5.3.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.5.5.3.1.3
Additionnez et .
Étape 1.5.5.3.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.5.3.3
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.5.4.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.5.5.4.1.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.4.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2
Multipliez par .
Étape 1.6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 1.7
Résolvez .
Étape 1.7.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Étape 1.7.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.2
Factorisez.
Étape 1.7.1.2.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Étape 1.7.1.2.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.7.1.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 1.7.1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.7.3
Définissez égal à .
Étape 1.7.4
Définissez égal à et résolvez .
Étape 1.7.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.4.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.5
Définissez égal à et résolvez .
Étape 1.7.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 2
Le vecteur propre est égal à l’espace nul de la matrice moins la valeur propre fois la matrice d’identité où est l’espace nul et est la matrice d’identité.
Étape 3
Étape 3.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 3.2
Simplifiez
Étape 3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 3.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 3.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 3.2.2
L’ajout de toute matrice à la matrice nulle est une matrice en lui-même.
Étape 3.2.2.1
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 3.2.2.2
Simplifiez chaque élément.
Étape 3.2.2.2.1
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.3
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.4
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.5
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.6
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.7
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.8
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.9
Additionnez et .
Étape 3.3
Déterminez l’espace nul quand .
Étape 3.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour .
Étape 3.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Étape 3.3.2.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.4
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.4.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.4.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.5
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.5.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.6
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.6.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 3.3.2.6.2
Simplifiez .
Étape 3.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
Étape 3.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
Étape 3.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
Étape 3.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
Étape 3.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
Étape 4
Étape 4.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 4.2
Simplifiez
Étape 4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 4.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 4.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.2.3
Simplifiez chaque élément.
Étape 4.2.3.1
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.2
Additionnez et .
Étape 4.2.3.3
Additionnez et .
Étape 4.2.3.4
Additionnez et .
Étape 4.2.3.5
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.6
Additionnez et .
Étape 4.2.3.7
Additionnez et .
Étape 4.2.3.8
Additionnez et .
Étape 4.2.3.9
Soustrayez de .
Étape 4.3
Déterminez l’espace nul quand .
Étape 4.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour .
Étape 4.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Étape 4.3.2.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.4
Inversez avec pour placer une entrée non nulle sur .
Étape 4.3.2.5
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.5.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.6
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.6.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 4.3.2.6.2
Simplifiez .
Étape 4.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
Étape 4.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
Étape 4.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
Étape 4.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
Étape 4.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 5.2
Simplifiez
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 5.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 5.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 5.2.3
Simplifiez chaque élément.
Étape 5.2.3.1
Additionnez et .
Étape 5.2.3.2
Additionnez et .
Étape 5.2.3.3
Additionnez et .
Étape 5.2.3.4
Additionnez et .
Étape 5.2.3.5
Additionnez et .
Étape 5.2.3.6
Additionnez et .
Étape 5.2.3.7
Additionnez et .
Étape 5.2.3.8
Additionnez et .
Étape 5.2.3.9
Additionnez et .
Étape 5.3
Déterminez l’espace nul quand .
Étape 5.3.1
Écrivez comme une matrice augmentée pour .
Étape 5.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Étape 5.3.2.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.1.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.2
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.2.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.3
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.3.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.4
Inversez avec pour placer une entrée non nulle sur .
Étape 5.3.2.5
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.5.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 5.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 5.3.3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
Étape 5.3.4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
Étape 5.3.5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
Étape 5.3.6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
Étape 5.3.7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
Étape 6
L’espace propre de est la liste de l’espace de vecteur de chaque valeur propre.