Ensembles finis Exemples

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.2 \\ 1 & 0.1 \\ 14 & 0.2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.2 \\ 1 & 0.1 \\ 14 & 0.2 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète

x

$x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité

P (x)

$P (x)$ à chaque valeur possible

x

$x$ . Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ diminue entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ .

1. Pour chaque

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

0.4

$0.4$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.4

$0.4$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.3

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.4

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.5

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.6

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.7

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.8

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles.

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

Étape 1.9

La somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$ .

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Étape 1.9.1

Additionnez

0.4

$0.4$ et

0.1

$0.1$ .

0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

Étape 1.9.2

Additionnez

0.5

$0.5$ et

0.2

$0.2$ .

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

Étape 1.9.3

Additionnez

0.7

$0.7$ et

0.1

$0.1$ .

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

Étape 1.9.4

Additionnez

0.8

$0.8$ et

0.2

$0.2$ .

1

$1$

1

$1$

Étape 1.10

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité de

P (x)

$P (x)$ est comprise entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

u = 1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez

0.4

$0.4$ par

1

$1$ .

u = 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Étape 3.2

Multipliez

5

$5$ par

0.1

$0.1$ .

u = 0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Étape 3.3

Multipliez

8

$8$ par

0.2

$0.2$ .

u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Étape 3.4

Multipliez

0.1

$0.1$ par

1

$1$ .

u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Étape 3.5

Multipliez

14

$14$ par

0.2

$0.2$ .

u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8

$u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8

$u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez

0.4

$0.4$ et

0.5

$0.5$ .

u = 0.9 + 1.6 + 0.1 + 2.8

$u = 0.9 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

Étape 4.2

Additionnez

0.9

$0.9$ et

1.6

$1.6$ .

u = 2.5 + 0.1 + 2.8

$u = 2.5 + 0.1 + 2.8$

Étape 4.3

Additionnez

2.5

$2.5$ et

0.1

$0.1$ .

u = 2.6 + 2.8

$u = 2.6 + 2.8$

Étape 4.4

Additionnez

2.6

$2.6$ et

2.8

$2.8$ .

u = 5.4

$u = 5.4$

u = 5.4

$u = 5.4$

Étape 5

La variance d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égale au carrée de l’écart-type.

s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

{(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

${(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

5.4

$5.4$ .

{(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

${(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.2

Soustrayez

5.4

$5.4$ de

1

$1$ .

{(- 4.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

${(- 4.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.3

Élevez

- 4.4

$- 4.4$ à la puissance

2

$2$ .

19.36 \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$19.36 \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.4

Multipliez

19.36

$19.36$ par

0.4

$0.4$ .

7.744 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.5

Multipliez

- 1

$- 1$ par

5.4

$5.4$ .

7.744 + {(5 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + {(5 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.6

Soustrayez

5.4

$5.4$ de

5

$5$ .

7.744 + {(- 0.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + {(- 0.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.7

Élevez

- 0.4

$- 0.4$ à la puissance

2

$2$ .

7.744 + 0.16 \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.16 \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.8

Multipliez

0.16

$0.16$ par

0.1

$0.1$ .

7.744 + 0.016 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.9

Multipliez

- 1

$- 1$ par

5.4

$5.4$ .

7.744 + 0.016 + {(8 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + {(8 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.10

Soustrayez

5.4

$5.4$ de

8

$8$ .

7.744 + 0.016 + {2.6}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + {2.6}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.11

Élevez

2.6

$2.6$ à la puissance

2

$2$ .

7.744 + 0.016 + 6.76 \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 6.76 \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.12

Multipliez

6.76

$6.76$ par

0.2

$0.2$ .

7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.13

Multipliez

- 1

$- 1$ par

5.4

$5.4$ .

7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.14

Soustrayez

5.4

$5.4$ de

1

$1$ .

7.744 + 0.016 + 1.352 + {(- 4.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + {(- 4.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.15

Élevez

- 4.4

$- 4.4$ à la puissance

2

$2$ .

7.744 + 0.016 + 1.352 + 19.36 \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 19.36 \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.16

Multipliez

19.36

$19.36$ par

0.1

$0.1$ .

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.17

Multipliez

- 1

$- 1$ par

5.4

$5.4$ .

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.18

Soustrayez

5.4

$5.4$ de

14

$14$ .

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {8.6}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {8.6}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.19

Élevez

8.6

$8.6$ à la puissance

2

$2$ .

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 73.96 \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 73.96 \cdot 0.2$

Étape 7.1.20

Multipliez

73.96

$73.96$ par

0.2

$0.2$ .

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 14.792

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 14.792$

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 14.792

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 14.792$

Étape 7.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.1

Additionnez

7.744

$7.744$ et

0.016

$0.016$ .

7.76 + 1.352 + 1.936 + 14.792

$7.76 + 1.352 + 1.936 + 14.792$

Étape 7.2.2

Additionnez

7.76

$7.76$ et

1.352

$1.352$ .

9.112 + 1.936 + 14.792

$9.112 + 1.936 + 14.792$

Étape 7.2.3

Additionnez

9.112

$9.112$ et

1.936

$1.936$ .

11.048 + 14.792

$11.048 + 14.792$

Étape 7.2.4

Additionnez

11.048

$11.048$ et

14.792

$14.792$ .

25.84

$25.84$

25.84

$25.84$

25.84

$25.84$

Saisissez VOTRE problème