Ensembles finis Exemples

\begin{matrix} x & P (x) 3 & 0.3 5 & 0.4 10 & 0.1 12 & 0.2 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.3 \\ 5 & 0.4 \\ 10 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète

x

$x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité

P (x)

$P (x)$ à chaque valeur possible

x

$x$ . Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ diminue entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ .

1. Pour chaque

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

0.3

$0.3$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.3

$0.3$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.3

0.4

$0.4$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.4

$0.4$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.4

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.5

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.6

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.7

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles.

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2$

Étape 1.8

La somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Additionnez

0.3

$0.3$ et

0.4

$0.4$ .

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

Étape 1.8.2

Additionnez

0.7

$0.7$ et

0.1

$0.1$ .

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

Étape 1.8.3

Additionnez

0.8

$0.8$ et

0.2

$0.2$ .

1

$1$

1

$1$

Étape 1.9

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité de

P (x)

$P (x)$ est comprise entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

u = 3 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$u = 3 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez

3

$3$ par

0.3

$0.3$ .

u = 0.9 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$u = 0.9 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

Étape 3.2

Multipliez

5

$5$ par

0.4

$0.4$ .

u = 0.9 + 2 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$u = 0.9 + 2 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

Étape 3.3

Multipliez

10

$10$ par

0.1

$0.1$ .

u = 0.9 + 2 + 1 + 12 \cdot 0.2

$u = 0.9 + 2 + 1 + 12 \cdot 0.2$

Étape 3.4

Multipliez

12

$12$ par

0.2

$0.2$ .

u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4

$u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4$

u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4

$u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Additionnez

0.9

$0.9$ et

2

$2$ .

u = 2.9 + 1 + 2.4

$u = 2.9 + 1 + 2.4$

Étape 4.2

Additionnez

2.9

$2.9$ et

1

$1$ .

u = 3.9 + 2.4

$u = 3.9 + 2.4$

Étape 4.3

Additionnez

3.9

$3.9$ et

2.4

$2.4$ .

u = 6.3

$u = 6.3$

u = 6.3

$u = 6.3$

Étape 5

La variance d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égale au carrée de l’écart-type.

s^{2} = \sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

{(3 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

6.3

$6.3$ .

{(3 - 6.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - 6.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.2

Soustrayez

6.3

$6.3$ de

3

$3$ .

{(- 3.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

${(- 3.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.3

Élevez

- 3.3

$- 3.3$ à la puissance

2

$2$ .

10.89 \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$10.89 \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.4

Multipliez

10.89

$10.89$ par

0.3

$0.3$ .

3.267 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2

$3.267 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.5

Multipliez

$- 1$ par

$6.3$ .

$3.267 + {(5 - 6.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.6

Soustrayez

$6.3$ de

$5$ .

$3.267 + {(- 1.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.7

Élevez

$- 1.3$ à la puissance

$2$ .

$3.267 + 1.69 \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.8

Multipliez

$1.69$ par

$0.4$ .

$3.267 + 0.676 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.9

Multipliez

$- 1$ par

$6.3$ .

$3.267 + 0.676 + {(10 - 6.3)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.10

Soustrayez

$6.3$ de

$10$ .

$3.267 + 0.676 + {3.7}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.11

Élevez

$3.7$ à la puissance

$2$ .

$3.267 + 0.676 + 13.69 \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.12

Multipliez

$13.69$ par

$0.1$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.13

Multipliez

$- 1$ par

$6.3$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - 6.3)}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.14

Soustrayez

$6.3$ de

$12$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {5.7}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.15

Élevez

$5.7$ à la puissance

$2$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + 32.49 \cdot 0.2$

Étape 7.1.16

Multipliez

$32.49$ par

$0.2$ .

$3.267 + 0.676 + 1.369 + 6.498$

Étape 7.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Additionnez

$3.267$ et

$0.676$ .

$3.943 + 1.369 + 6.498$

Étape 7.2.2

Additionnez

$3.943$ et

$1.369$ .

$5.312 + 6.498$

Étape 7.2.3

Additionnez

$5.312$ et

$6.498$ .

$11.81$

Saisissez VOTRE problème