Ensembles finis Exemples

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 4 & 0.3 \\ 5 & 0.3 \\ 9 & 0.4 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète $x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que $0$ , $1$ , $2$ …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité $P (x)$ à chaque valeur possible $x$ . Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ diminue entre $0$ et $1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est égale à $1$ .

1. Pour chaque $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.3

$0.4$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.4$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.4

Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.5

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles.

$0.3 + 0.3 + 0.4$

Étape 1.6

La somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est $0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$ .

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Étape 1.6.1

Additionnez $0.3$ et $0.3$ .

$0.6 + 0.4$

Étape 1.6.2

Additionnez $0.6$ et $0.4$ .

$1$

Étape 1.7

Pour chaque $x$ , la probabilité de $P (x)$ est comprise entre $0$ et $1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les $x$ possibles est égale à $1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

$u = 4 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.4$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $4$ par $0.3$ .

$u = 1.2 + 5 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.4$

Étape 3.2

Multipliez $5$ par $0.3$ .

$u = 1.2 + 1.5 + 9 \cdot 0.4$

Étape 3.3

Multipliez $9$ par $0.4$ .

$u = 1.2 + 1.5 + 3.6$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez $1.2$ et $1.5$ .

$u = 2.7 + 3.6$

Étape 4.2

Additionnez $2.7$ et $3.6$ .

$u = 6.3$

Étape 5

La variance d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égale au carrée de l’écart-type.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

${(4 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $6.3$ .

${(4 - 6.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.2

Soustrayez $6.3$ de $4$ .

${(- 2.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.3

Élevez $- 2.3$ à la puissance $2$ .

$5.29 \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.4

Multipliez $5.29$ par $0.3$ .

$1.587 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.5

Multipliez $- 1$ par $6.3$ .

$1.587 + {(5 - 6.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.6

Soustrayez $6.3$ de $5$ .

$1.587 + {(- 1.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.7

Élevez $- 1.3$ à la puissance $2$ .

$1.587 + 1.69 \cdot 0.3 + {(9 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.8

Multipliez $1.69$ par $0.3$ .

$1.587 + 0.507 + {(9 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.9

Multipliez $- 1$ par $6.3$ .

$1.587 + 0.507 + {(9 - 6.3)}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.10

Soustrayez $6.3$ de $9$ .

$1.587 + 0.507 + {2.7}^{2} \cdot 0.4$

Étape 7.1.11

Élevez $2.7$ à la puissance $2$ .

$1.587 + 0.507 + 7.29 \cdot 0.4$

Étape 7.1.12

Multipliez $7.29$ par $0.4$ .

$1.587 + 0.507 + 2.916$

Étape 7.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.1

Additionnez $1.587$ et $0.507$ .

$2.094 + 2.916$

Étape 7.2.2

Additionnez $2.094$ et $2.916$ .

$5.01$

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