Ensembles finis Exemples

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 4 & 0.4 \\ 7 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 13 & 0.1 \\ 17 & 0.1 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète $x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que $0$ , $1$ , $2$ …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité $P (x)$ à chaque valeur possible $x$ . Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ diminue entre $0$ et $1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est égale à $1$ .

1. Pour chaque $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

$0.4$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.4$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.3

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.4

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.5

Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.6

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles.

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

Étape 1.7

La somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est $0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$ .

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Étape 1.7.1

Additionnez $0.4$ et $0.2$ .

$0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

Étape 1.7.2

Additionnez $0.6$ et $0.1$ .

$0.7 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

Étape 1.7.3

Additionnez $0.7$ et $0.1$ .

$0.8 + 0.1 + 0.1$

Étape 1.7.4

Additionnez $0.8$ et $0.1$ .

$0.9 + 0.1$

Étape 1.7.5

Additionnez $0.9$ et $0.1$ .

$1$

Étape 1.8

Pour chaque $x$ , la probabilité de $P (x)$ est comprise entre $0$ et $1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les $x$ possibles est égale à $1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

$4 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $4$ par $0.4$ .

$1.6 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Étape 3.2

Multipliez $7$ par $0.2$ .

$1.6 + 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Étape 3.3

Multipliez $9$ par $0.1$ .

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Étape 3.4

Multipliez $11$ par $0.1$ .

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Étape 3.5

Multipliez $13$ par $0.1$ .

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 17 \cdot 0.1$

Étape 3.6

Multipliez $17$ par $0.1$ .

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez $1.6$ et $1.4$ .

$3 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Étape 4.2

Additionnez $3$ et $0.9$ .

$3.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Étape 4.3

Additionnez $3.9$ et $1.1$ .

$5 + 1.3 + 1.7$

Étape 4.4

Additionnez $5$ et $1.3$ .

$6.3 + 1.7$

Étape 4.5

Additionnez $6.3$ et $1.7$ .

$8$

Étape 5

L’écart-type d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égal à la racine carrée de la variance.

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

$\sqrt{{(4 - (8))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\sqrt{{(4 - 8)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\sqrt{{(- 4)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.4

Multipliez $16$ par $0.4$ .

$\sqrt{6.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\sqrt{6.4 + {(7 - 8)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.6

Soustrayez $8$ de $7$ .

$\sqrt{6.4 + {(- 1)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{6.4 + 1 \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.8

Multipliez $0.2$ par $1$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.9

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.10

Soustrayez $8$ de $9$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1 \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.12

Multipliez $0.1$ par $1$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.13

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.14

Soustrayez $8$ de $11$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 3^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.15

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 9 \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.16

Multipliez $9$ par $0.1$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.17

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.18

Soustrayez $8$ de $13$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 5^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.19

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 25 \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.20

Multipliez $25$ par $0.1$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.21

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - 8)}^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.22

Soustrayez $8$ de $17$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 9^{2} \cdot 0.1}$

Étape 7.23

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 81 \cdot 0.1}$

Étape 7.24

Multipliez $81$ par $0.1$ .

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

Étape 7.25

Additionnez $6.4$ et $0.2$ .

$\sqrt{6.6 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

Étape 7.26

Additionnez $6.6$ et $0.1$ .

$\sqrt{6.7 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

Étape 7.27

Additionnez $6.7$ et $0.9$ .

$\sqrt{7.6 + 2.5 + 8.1}$

Étape 7.28

Additionnez $7.6$ et $2.5$ .

$\sqrt{10.1 + 8.1}$

Étape 7.29

Additionnez $10.1$ et $8.1$ .

$\sqrt{18.2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{18.2}$

Forme décimale :

$4.26614580 \dots$

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