Ensembles finis Exemples

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.3 \\ 3 & 0.3 \\ 7 & 0.4 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.3 \\ 3 & 0.3 \\ 7 & 0.4 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète

x

$x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité

P (x)

$P (x)$ à chaque valeur possible

x

$x$ . Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ diminue entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ .

1. Pour chaque

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

0.3

$0.3$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.3

$0.3$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.3

0.4

$0.4$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.4

$0.4$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.4

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.5

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles.

0.3 + 0.3 + 0.4

$0.3 + 0.3 + 0.4$

Étape 1.6

La somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est

0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$ .

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Étape 1.6.1

Additionnez

0.3

$0.3$ et

0.3

$0.3$ .

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

Étape 1.6.2

Additionnez

0.6

$0.6$ et

0.4

$0.4$ .

1

$1$

1

$1$

Étape 1.7

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité de

P (x)

$P (x)$ est comprise entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

0 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4

$0 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez

0

$0$ par

0.3

$0.3$ .

0 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4

$0 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4$

Étape 3.2

Multipliez

3

$3$ par

0.3

$0.3$ .

0 + 0.9 + 7 \cdot 0.4

$0 + 0.9 + 7 \cdot 0.4$

Étape 3.3

Multipliez

7

$7$ par

0.4

$0.4$ .

0 + 0.9 + 2.8

$0 + 0.9 + 2.8$

0 + 0.9 + 2.8

$0 + 0.9 + 2.8$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez

0

$0$ et

0.9

$0.9$ .

0.9 + 2.8

$0.9 + 2.8$

Étape 4.2

Additionnez

0.9

$0.9$ et

2.8

$2.8$ .

3.7

$3.7$

3.7

$3.7$

Étape 5

L’écart-type d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égal à la racine carrée de la variance.

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

\sqrt{{(0 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(0 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3.7

$3.7$ .

\sqrt{{(0 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(0 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.2

Soustrayez

3.7

$3.7$ de

0

$0$ .

\sqrt{{(- 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(- 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.3

Élevez

- 3.7

$- 3.7$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{13.69 \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{13.69 \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.4

Multipliez

13.69

$13.69$ par

0.3

$0.3$ .

\sqrt{4.107 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.5

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3.7

$3.7$ .

\sqrt{4.107 + {(3 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + {(3 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.6

Soustrayez

3.7

$3.7$ de

3

$3$ .

\sqrt{4.107 + {(- 0.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + {(- 0.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.7

Élevez

- 0.7

$- 0.7$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{4.107 + 0.49 \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.49 \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.8

Multipliez

0.49

$0.49$ par

0.3

$0.3$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.9

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3.7

$3.7$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - 3.7)}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - 3.7)}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.10

Soustrayez

3.7

$3.7$ de

7

$7$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + {3.3}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + {3.3}^{2} \cdot 0.4}$

Étape 7.11

Élevez

3.3

$3.3$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + 10.89 \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + 10.89 \cdot 0.4}$

Étape 7.12

Multipliez

10.89

$10.89$ par

0.4

$0.4$ .

\sqrt{4.107 + 0.147 + 4.356}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + 4.356}$

Étape 7.13

Additionnez

4.107

$4.107$ et

0.147

$0.147$ .

\sqrt{4.254 + 4.356}

$\sqrt{4.254 + 4.356}$

Étape 7.14

Additionnez

4.254

$4.254$ et

4.356

$4.356$ .

\sqrt{8.61}

$\sqrt{8.61}$

\sqrt{8.61}

$\sqrt{8.61}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

\sqrt{8.61}

$\sqrt{8.61}$

Forme décimale :

2.93428015 \dots

$2.93428015 \dots$

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