Ensembles finis Exemples

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 9 & 0.4 \\ 11 & 0.4 \\ 13 & 0.1 \\ 15 & 0.1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 9 & 0.4 \\ 11 & 0.4 \\ 13 & 0.1 \\ 15 & 0.1 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète

x

$x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité

P (x)

$P (x)$ à chaque valeur possible

x

$x$ . Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ diminue entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ .

1. Pour chaque

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

0.4

$0.4$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.4

$0.4$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.3

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.4

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.5

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles.

0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1

$0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1$

Étape 1.6

La somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est

0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 1$ .

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Étape 1.6.1

Additionnez

0.4

$0.4$ et

0.4

$0.4$ .

0.8 + 0.1 + 0.1

$0.8 + 0.1 + 0.1$

Étape 1.6.2

Additionnez

0.8

$0.8$ et

0.1

$0.1$ .

0.9 + 0.1

$0.9 + 0.1$

Étape 1.6.3

Additionnez

0.9

$0.9$ et

0.1

$0.1$ .

1

$1$

1

$1$

Étape 1.7

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité de

P (x)

$P (x)$ est comprise entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

Expectation = 9 \cdot 0.4 + 11 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.1

$Expectation = 9 \cdot 0.4 + 11 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.1$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez

9

$9$ par

0.4

$0.4$ .

Expectation = 3.6 + 11 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.1

$Expectation = 3.6 + 11 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.1$

Étape 3.1.2

Multipliez

11

$11$ par

0.4

$0.4$ .

Expectation = 3.6 + 4.4 + 13 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.1

$Expectation = 3.6 + 4.4 + 13 \cdot 0.1 + 15 \cdot 0.1$

Étape 3.1.3

Multipliez

13

$13$ par

0.1

$0.1$ .

Expectation = 3.6 + 4.4 + 1.3 + 15 \cdot 0.1

$Expectation = 3.6 + 4.4 + 1.3 + 15 \cdot 0.1$

Étape 3.1.4

Multipliez

15

$15$ par

0.1

$0.1$ .

Expectation = 3.6 + 4.4 + 1.3 + 1.5

$Expectation = 3.6 + 4.4 + 1.3 + 1.5$

Expectation = 3.6 + 4.4 + 1.3 + 1.5

$Expectation = 3.6 + 4.4 + 1.3 + 1.5$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.1

Additionnez

3.6

$3.6$ et

4.4

$4.4$ .

Expectation = 8 + 1.3 + 1.5

$Expectation = 8 + 1.3 + 1.5$

Étape 3.2.2

Additionnez

8

$8$ et

1.3

$1.3$ .

Expectation = 9.3 + 1.5

$Expectation = 9.3 + 1.5$

Étape 3.2.3

Additionnez

9.3

$9.3$ et

1.5

$1.5$ .

Expectation = 10.8

$Expectation = 10.8$

Expectation = 10.8

$Expectation = 10.8$

Expectation = 10.8

$Expectation = 10.8$

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