Ensembles finis Exemples

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ où

p

$p$ est un facteur de la constante et

q

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

\pm 1

$\pm 1$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est

0

$0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

{(1)}^{2} - 1

${(1)}^{2} - 1$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à

0

$0$ donc

x = 1

$x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 - 1

$1 - 1$

Étape 4.2

Soustrayez

1

$1$ de

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$

Étape 5

Comme

1

$1$ est une racine connue, divisez le polynôme par

x - 1

$x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de

1

$1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende

(1)

$(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(1)

$(1)$ par le diviseur

(1)

$(1)$ et placez le résultat de

(1)

$(1)$ sous le terme suivant dans le dividende

(0)

$(0)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(1)

$(1)$ par le diviseur

(1)

$(1)$ et placez le résultat de

(1)

$(1)$ sous le terme suivant dans le dividende

(- 1)

$(- 1)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

(1) x + 1

$(1) x + 1$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

x + 1

$x + 1$

x + 1

$x + 1$

Étape 7

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

x = - 1

$x = - 1$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

(x - 1) (x + 1)

$(x - 1) (x + 1)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ .

x = 1, - 1

$x = 1, - 1$

Étape 10

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