Ensembles finis Exemples

$x^{2} - 10 x + 9$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{2} - 10 \cdot 1 + 9$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 10 \cdot 1 + 9$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$1 - 10 + 9$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $10$ de $1$ .

$- 9 + 9$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$- 10$	$9$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$- 10$	$9$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 10)$ .

$1$	$1$	$- 10$	$9$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 10$	$9$
		$1$
	$1$	$- 9$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 9)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(9)$ .

$1$	$1$	$- 10$	$9$
		$1$	$- 9$
	$1$	$- 9$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 10$	$9$
		$1$	$- 9$
	$1$	$- 9$	$0$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(1) x - 9$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$x - 9$

Étape 7

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 1) (x - 9)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{2} - 10 x + 9$ .

$x = 1, 9$

Étape 10

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