Ensembles finis Exemples

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 & 4 2 & 1 & 2 & 3 2 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

1

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + & - - & + & - & + + & - & + & - - & + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

a_{31}

$a_{31}$ by its cofactor.

2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.9

The minor for

a_{41}

$a_{41}$ is the determinant with row

4

$4$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 1.10

Multiply element

a_{41}

$a_{41}$ by its cofactor.

- 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 1.11

Add the terms together.

1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

Étape 2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ .

1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

3

$3$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 3.1.3

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.1.4

Multiply element

a_{31}

$a_{31}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.1.5

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Étape 3.1.6

Multiply element

a_{32}

$a_{32}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Étape 3.1.7

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 3.1.8

Multiply element

a_{33}

$a_{33}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 3.1.9

Add the terms together.

1 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

Étape 3.2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

1 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.3

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 (1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

1 (1 (3 - 2 \cdot 4) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 (3 - 2 \cdot 4) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

4

$4$ .

1 (1 (3 - 8) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 (3 - 8) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 (3 - 8) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

Étape 3.3.2.2

Soustrayez

8

$8$ de

3

$3$ .

1 (1 \cdot - 5 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 \cdot - 5 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

1 (1 \cdot - 5 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

Étape 3.4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

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Étape 3.4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 (1 \cdot - 5 - 1 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 1 \cdot 4) + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 1 \cdot 4) + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

4

$4$ .

1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 4) + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 4) + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 4) + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 4) + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez

4

$4$ de

6

$6$ .

1 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Multipliez

- 5

$- 5$ par

1

$1$ .

1 (- 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (- 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.5.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2

$2$ .

1 (- 5 - 2 + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (- 5 - 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (- 5 - 2 + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (- 5 - 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.5.2

Soustrayez

2

$2$ de

- 5

$- 5$ .

1 (- 7 + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (- 7 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.5.3

Additionnez

- 7

$- 7$ et

0

$0$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

3

$3$ by its cofactor and add.

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Étape 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 4.1.3

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Étape 4.1.4

Multiply element

a_{31}

$a_{31}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Étape 4.1.5

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Étape 4.1.6

Multiply element

a_{32}

$a_{32}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Étape 4.1.7

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 4.1.8

Multiply element

a_{33}

$a_{33}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 4.1.9

Add the terms together.

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

Étape 4.2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.3

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 1 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (2 \cdot 4 - 1 \cdot 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (2 \cdot 4 - 1 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

4

$4$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (8 - 1 \cdot 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (8 - 1 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (8 - 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (8 - 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (8 - 3) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (8 - 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez

3

$3$ de

8

$8$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (4 - 2 \cdot 3) + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (4 - 2 \cdot 3) + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

3

$3$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (4 - 6) + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (4 - 6) + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (4 - 6) + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (4 - 6) + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez

6

$6$ de

4

$4$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.1

Multipliez

5

$5$ par

1

$1$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.5.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 2

$- 2$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (5 + 2 + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (5 + 2 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (5 + 2 + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (5 + 2 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.5.2

Additionnez

5

$5$ et

2

$2$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 (7 + 0) - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (7 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.5.3

Additionnez

7

$7$ et

0

$0$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Étape 5

Évaluez

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Étape 5.2

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (3 - 2 \cdot 4) - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (3 - 2 \cdot 4) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

4

$4$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (3 - 8) - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (3 - 8) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (3 - 8) - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (3 - 8) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez

8

$8$ de

3

$3$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Étape 5.3

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (6 - 1 \cdot 4) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (6 - 1 \cdot 4) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

4

$4$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (6 - 4) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (6 - 4) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (6 - 4) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (6 - 4) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez

4

$4$ de

6

$6$ .

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣)

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Étape 5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 (2 \cdot 2 - 1 \cdot 1))$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 (4 - 1 \cdot 1))$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 (4 - 1))$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez

$1$ de

$4$ .

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3)$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Multipliez

$- 5$ par

$1$ .

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (- 5 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3)$

Étape 5.5.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (- 5 - 4 + 3 \cdot 3)$

Étape 5.5.1.3

Multipliez

$3$ par

$3$ .

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (- 5 - 4 + 9)$

Étape 5.5.2

Soustrayez

$4$ de

$- 5$ .

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (- 9 + 9)$

Étape 5.5.3

Additionnez

$- 9$ et

$9$ .

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0$

Étape 6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Multipliez

$- 7$ par

$1$ .

$- 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0$

Étape 6.1.2

Multipliez

$2$ par

$7$ .

$- 7 + 0 + 14 - 2 \cdot 0$

Étape 6.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$- 7 + 0 + 14 + 0$

Étape 6.2

Additionnez

$- 7$ et

$0$ .

$- 7 + 14 + 0$

Étape 6.3

Additionnez

$- 7$ et

$14$ .

$7 + 0$

Étape 6.4

Additionnez

$7$ et

$0$ .

$7$

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