Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.9

Additionnez les termes entre eux.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (4 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 (4 - 1 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 (4 - 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$1 \cdot 2 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - 3 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 \cdot 2 - 3 (3 - 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 \cdot 2 - 3 (3 - 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 4)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 1 \cdot 4)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 4)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 - 3 + 1 \cdot - 1$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 3 - 1$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- 1 - 1$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- 2$

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