Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 1.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 1.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 1.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 - 1 & - 1 + \frac{1}{3} \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 1.3

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Étape 1.4

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 1.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 1.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Les positions pivot sont les emplacements avec le $1$ principal sur chaque ligne. Les colonnes pivot sont les colonnes qui ont une position pivot.

Positions pivot : $a_{11}$ et $a_{22}$

Colonnes pivot : $1$ et $2$

Étape 3

La base pour l’espace de colonne d’une matrice est formée en prenant en compte les colonnes pivot correspondantes dans la matrice d’origine. La dimension de $Col (A)$ correspond au nombre de vecteurs dans une base pour $Col (A)$ .

Base de $Col (A)$ : ${[\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]}$

Dimension de $Col (A)$ : $2$

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