Ensembles finis Exemples

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Étape 1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Utilisez le tableau de signes et la matrice donnée pour déterminer le cofacteur de chaque élément.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculez le mineur pour l’élément

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Le mineur pour

a_{11}

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

9

$9$ .

a_{11} = 45 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 45 - 8 \cdot 6$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- 8

$- 8$ par

6

$6$ .

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez

48

$48$ de

45

$45$ .

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

Étape 2.2

Calculez le mineur pour l’élément

a_{12}

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Le mineur pour

a_{12}

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

2

$2$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6

$a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

4

$4$ par

9

$9$ .

a_{12} = 36 - 7 \cdot 6

$a_{12} = 36 - 7 \cdot 6$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

- 7

$- 7$ par

6

$6$ .

a_{12} = 36 - 42

$a_{12} = 36 - 42$

a_{12} = 36 - 42

$a_{12} = 36 - 42$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez

42

$42$ de

36

$36$ .

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

Étape 2.3

Calculez le mineur pour l’élément

a_{13}

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Le mineur pour

a_{13}

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

3

$3$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5

$a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez

4

$4$ par

8

$8$ .

a_{13} = 32 - 7 \cdot 5

$a_{13} = 32 - 7 \cdot 5$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

- 7

$- 7$ par

5

$5$ .

a_{13} = 32 - 35

$a_{13} = 32 - 35$

a_{13} = 32 - 35

$a_{13} = 32 - 35$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez

35

$35$ de

32

$32$ .

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

a_{13} = - 3

$a_{13} = - 3$

Étape 2.4

Calculez le mineur pour l’élément

a_{21}

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Le mineur pour

a_{21}

$a_{21}$ est le déterminant dont la ligne

2

$2$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3

$a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

9

$9$ .

a_{21} = 18 - 8 \cdot 3

$a_{21} = 18 - 8 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

- 8

$- 8$ par

3

$3$ .

a_{21} = 18 - 24

$a_{21} = 18 - 24$

a_{21} = 18 - 24

$a_{21} = 18 - 24$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez

24

$24$ de

18

$18$ .

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

a_{21} = - 6

$a_{21} = - 6$

Étape 2.5

Calculez le mineur pour l’élément

a_{22}

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Le mineur pour

a_{22}

$a_{22}$ est le déterminant dont la ligne

2

$2$ et la colonne

2

$2$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

9

$9$ par

1

$1$ .

a_{22} = 9 - 7 \cdot 3

$a_{22} = 9 - 7 \cdot 3$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

- 7

$- 7$ par

3

$3$ .

a_{22} = 9 - 21

$a_{22} = 9 - 21$

a_{22} = 9 - 21

$a_{22} = 9 - 21$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez

21

$21$ de

9

$9$ .

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

a_{22} = - 12

$a_{22} = - 12$

Étape 2.6

Calculez le mineur pour l’élément

a_{23}

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Le mineur pour

a_{23}

$a_{23}$ est le déterminant dont la ligne

2

$2$ et la colonne

3

$3$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2

$a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez

8

$8$ par

1

$1$ .

a_{23} = 8 - 7 \cdot 2

$a_{23} = 8 - 7 \cdot 2$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

- 7

$- 7$ par

2

$2$ .

a_{23} = 8 - 14

$a_{23} = 8 - 14$

a_{23} = 8 - 14

$a_{23} = 8 - 14$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez

14

$14$ de

8

$8$ .

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

a_{23} = - 6

$a_{23} = - 6$

Étape 2.7

Calculez le mineur pour l’élément

a_{31}

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Le mineur pour

a_{31}

$a_{31}$ est le déterminant dont la ligne

3

$3$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3

$a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

6

$6$ .

a_{31} = 12 - 5 \cdot 3

$a_{31} = 12 - 5 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

3

$3$ .

a_{31} = 12 - 15

$a_{31} = 12 - 15$

a_{31} = 12 - 15

$a_{31} = 12 - 15$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez

15

$15$ de

12

$12$ .

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

Étape 2.8

Calculez le mineur pour l’élément

a_{32}

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Le mineur pour

a_{32}

$a_{32}$ est le déterminant dont la ligne

3

$3$ et la colonne

2

$2$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3

$a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

6

$6$ par

1

$1$ .

a_{32} = 6 - 4 \cdot 3

$a_{32} = 6 - 4 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

3

$3$ .

a_{32} = 6 - 12

$a_{32} = 6 - 12$

a_{32} = 6 - 12

$a_{32} = 6 - 12$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez

12

$12$ de

6

$6$ .

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

a_{32} = - 6

$a_{32} = - 6$

Étape 2.9

Calculez le mineur pour l’élément

a_{33}

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Le mineur pour

a_{33}

$a_{33}$ est le déterminant dont la ligne

3

$3$ et la colonne

3

$3$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Évaluez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

1

$1$ .

a_{33} = 5 - 4 \cdot 2

$a_{33} = 5 - 4 \cdot 2$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

2

$2$ .

a_{33} = 5 - 8

$a_{33} = 5 - 8$

a_{33} = 5 - 8

$a_{33} = 5 - 8$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez

8

$8$ de

5

$5$ .

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

a_{33} = - 3

$a_{33} = - 3$

Étape 2.10

La matrice de cofacteurs est une matrice des mineurs avec le signe changé pour les éléments aux positions

-

$-$ sur le tableau de signes.

[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

Étape 3

Transposez la matrice en inversant ses lignes et ses colonnes.

[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

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