Ensembles finis Exemples

\frac{4 x + 5}{x} > 3

$\frac{4 x + 5}{x} > 3$

Étape 1

Soustrayez

3

$3$ des deux côtés de l’inégalité.

\frac{4 x + 5}{x} - 3 > 0

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 > 0$

Étape 2

Simplifiez

\frac{4 x + 5}{x} - 3

$\frac{4 x + 5}{x} - 3$ .

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Étape 2.1

Pour écrire

- 3

$- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{4 x + 5}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x} > 0

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Étape 2.2

Associez

- 3

$- 3$ et

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{4 x + 5}{x} + \frac{- 3 x}{x} > 0

$\frac{4 x + 5}{x} + \frac{- 3 x}{x} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{4 x + 5 - 3 x}{x} > 0

$\frac{4 x + 5 - 3 x}{x} > 0$

Étape 2.4

Soustrayez

3 x

$3 x$ de

4 x

$4 x$ .

\frac{x + 5}{x} > 0

$\frac{x + 5}{x} > 0$

\frac{x + 5}{x} > 0

$\frac{x + 5}{x} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à

0

$0$ et en résolvant.

x = 0

$x = 0$

x + 5 = 0

$x + 5 = 0$

Étape 4

Soustrayez

5

$5$ des deux côtés de l’équation.

x = - 5

$x = - 5$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

x = 0

$x = 0$

x = - 5

$x = - 5$

Étape 6

Consolidez les solutions.

x = 0, - 5

$x = 0, - 5$

Étape 7

Déterminez le domaine de

\frac{x + 5}{x}

$\frac{x + 5}{x}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans

\frac{x + 5}{x}

$\frac{x + 5}{x}$ égal à

0

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

x = 0

$x = 0$

Étape 7.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

x

$x$ qui rendent l’expression définie.

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

x < - 5

$x < - 5$

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle

x < - 5

$x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

x < - 5

$x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = - 8

$x = - 8$

Étape 9.1.2

Remplacez

x

$x$ par

- 8

$- 8$ dans l’inégalité d’origine.

\frac{4 (- 8) + 5}{- 8} > 3

$\frac{4 (- 8) + 5}{- 8} > 3$

Étape 9.1.3

Le côté gauche

3.375

$3.375$ est supérieur au côté droit

3

$3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = - 2

$x = - 2$

Étape 9.2.2

Remplacez

x

$x$ par

- 2

$- 2$ dans l’inégalité d’origine.

\frac{4 (- 2) + 5}{- 2} > 3

$\frac{4 (- 2) + 5}{- 2} > 3$

Étape 9.2.3

Le côté gauche

1.5

$1.5$ n’est pas supérieur au côté droit

3

$3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle

x > 0

$x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

x > 0

$x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = 2

$x = 2$

Étape 9.3.2

Remplacez

x

$x$ par

2

$2$ dans l’inégalité d’origine.

\frac{4 (2) + 5}{2} > 3

$\frac{4 (2) + 5}{2} > 3$

Étape 9.3.3

Le côté gauche

6.5

$6.5$ est supérieur au côté droit

3

$3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

x < - 5

$x < - 5$ Vrai

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ Faux

x > 0

$x > 0$ Vrai

x < - 5

$x < - 5$ Vrai

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ Faux

x > 0

$x > 0$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

x < - 5

$x < - 5$ ou

x > 0

$x > 0$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

x < - 5 or x > 0

$x < - 5 or x > 0$

Notation d’intervalle :

(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)

$(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)$

Étape 12

Saisissez VOTRE problème