Ensembles finis Exemples

$x^{2} + 10 x - 24 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 10 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $10$ .

$- 2, 12$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 12) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 12 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Définissez $x + 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 12$ égal à $0$ .

$x + 12 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 12$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 12) = 0$ vraie.

$x = 2, - 12$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 12$

$- 12 < x < 2$

$x > 2$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 14$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 14$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 14)}^{2} + 10 (- 14) - 24 < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $32$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 12 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 12 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 10 (0) - 24 < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} + 10 (4) - 24 < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $32$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 12$ Faux

$- 12 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - 12$ Faux

$- 12 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 12 < x < 2$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 12 < x < 2$

Notation d’intervalle :

$(- 12, 2)$

Étape 11

Saisissez VOTRE problème